Use Dijkstra's algorithm to find the shortest paths from vertex a to other vertices. In which order that the results must be obtained？

The order of the results obtained from using Dijkstra's algorithm to find the shortest paths from vertex a to other vertices is not specified by the algorithm itself. However, typically the results are obtained in ascending order based on the distance from vertex a to each of the other vertices.

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设计以下问题算法：All-pairs shortest paths. The adjacency matrix is as same as that of problem 3.(Use Floyd or Johnson’s algorithm)

这是一个经典的全源最短路径问题，可以使用 Floyd 算法或者 Johnson 算法进行求解。下面给出两种算法的伪代码：

Floyd 算法：

1. 初始化一个二维数组 dist，表示任意两点之间的最短距离。将 dist[i][j] 的初始值设为 i 到 j 的距离，如果 i 和 j 不相邻，则距离设为无穷大。
2. 重复执行以下操作 V 次（V 是点的个数）：
3. 对于每一对顶点 i 和 j，如果从源点 A 到 k 再到 j 的距离比直接从源点 A 到 j 的距离更短，则更新 dist[i][j] 的值为更小的距离。
4. 返回 dist 数组，其中 dist[i][j] 表示从点 i 到点 j 的最短路径长度。

Johnson 算法：

1. 对原图进行一次变换，使得图中不存在负权边。具体地，对每个点 u，添加一条边 (s,u)，边权为0，其中 s 是一个新的源点。然后运用 Bellman-Ford 算法求出从 s 出发到达每个点的最短距离 h[u]。
2. 对原图进行 V 次 Dijkstra 算法，分别以每个点为源点求出该点到其他所有点的最短距离。在求解时，边权为 w(u,v)+h[u]-h[v]，其中 h[u] 和 h[v] 是上一步求出的值。
3. 对于任意一对顶点 i 和 j，它们之间的最短路径长度为 dist[i][j]=dist'[i][j]+h[j]-h[i]，其中 dist'[i][j] 是第二步求出的值，h[i] 和 h[j] 是第一步求出的值。
4. 返回 dist 数组，其中 dist[i][j] 表示从点 i 到点 j 的最短路径长度。

The function Dijkstra is to find the shortest path from Vertex S to every other vertices in a given Graph. The distances are stored in dist[], and path[] records the paths. The MGraph is defined as the following: typedef struct GNode *PtrToGNode; struct GNode{ int Nv; /* Number of vertices */ int Ne; /* Number of edges */ WeightType G[MaxVertexNum][MaxVertexNum]; /* adjacency matrix */ }; typedef PtrToGNode MGraph; void Dijkstra( MGraph Graph, int dist[], int path[], Vertex S ) { int collected[MaxVertexNum]; Vertex V, W; for ( V=0; V<Graph->Nv; V++ ) { dist[V] = Graph->G[S][V]; path[V] = -1; collected[V] = false; } dist[S] = 0; collected[S] = true; while (1) { V = FindMinDist( Graph, dist, collected ); if ( V==ERROR ) break; collected[V] = true; for( W=0; W<Graph->Nv; W++ ) if ( collected[W]==false && Graph->G[V][W]<INFINITY ) { if ( ) { dist[W] = ; path[W] = ; } } } /* end while */ }

在Dijkstra函数中，缺少一个条件判断语句，用来判断当前节点W是否可以通过V到达S的距离更短。应该在if语句中加上这个条件判断，如下所示：

if ( collected[W]==false && Graph->G[V][W]<INFINITY ) {
if ( dist[V] + Graph->G[V][W] < dist[W] ) {
dist[W] = dist[V] + Graph->G[V][W];
path[W] = V;
}
}

这样就可以在更新dist[W]和path[W]的时候，同时判断是否需要更新最短路径。