写一下将Duffing周期系统变成自治系统计算Lyapunov指数的MATLAB代码

以下是将Duffing周期系统变成自治系统计算Lyapunov指数的MATLAB代码：

% 定义Duffing周期系统
function dxdt = duffing(t,x)
  alpha = 0.3;
  beta = -0.1;
  delta = 1.0;
  omega = 1.2;
  
  dxdt = [x(2); -delta*x(2) - alpha*x(1) - beta*x(1)^3 + delta*cos(omega*t)];

% 定义计算Lyapunov指数的函数
function [lambda, traj] = lyapunov(func, tspan, x0, d0, n)
  [~, traj] = ode45(func, tspan, x0);
  m = length(x0);
  d = d0/norm(d0);
  lambda = 0;
  for i=1:length(traj)-n
    x = traj(i,:)';
    for j=1:n
      y = traj(i+j,:)';
      [~, J] = ode45(func, [0 1], y);
      d = J(end,1:m)'*d/norm(J(end,1:m)'*d);
    end
    lambda = lambda + log(norm(J(end,1:m)'*d));
  end
  lambda = lambda/(length(traj)-n);
  lambda = lambda/tspan(end);
end

% 使用定义好的函数计算Lyapunov指数
tspan = [0:0.01:1000];
x0 = [0.1; 0.1];
d0 = [0.001; 0.001];
n = 10;

[lambda, traj] = lyapunov(@duffing, tspan, x0, d0, n);

% 绘制系统轨迹和Lyapunov指数
figure(1)
plot(traj(:,1), traj(:,2))
xlabel('x')
ylabel('y')

figure(2)
plot(tspan(1:end-n), lambda*ones(length(tspan(1:end-n)),1))
xlabel('t')
ylabel('Lyapunov exponent')

代码中，`duffing`函数定义了Duffing周期系统的ODE方程。`lyapunov`函数计算给定ODE方程的Lyapunov指数，使用`ode45`求解ODE方程，计算相邻两个状态之间的扰动，并通过积分计算扰动向量的大小。最后，计算所有扰动向量的平均长度并取对数，得到Lyapunov指数。

在主函数中，定义了一些系统参数（alpha、beta、delta和omega），以及计算Lyapunov指数所需的一些变量（tspan、x0、d0和n）。然后，调用`lyapunov`函数计算Lyapunov指数，并将系统轨迹和Lyapunov指数绘制在两个图中。