用MATLAB写一个用Lyapunov指数法求Duffing系统阈值的代码示例

以下是MATLAB代码示例，用于使用Lyapunov指数法计算Duffing系统的阈值：

% 定义Duffing系统的参数
alpha = 0.1;
beta = 1;
gamma = 0.3;
delta = 0.2;

% 定义ODE函数
duffing = @(t, x) [x(2); -delta*x(2) - alpha*x(1) - beta*x(1)^3 + gamma*cos(t)];

% 定义时间范围和初始条件
tspan = [0, 1000];
x0 = [0.5, 0];

% 使用ode45求解ODE
[t, x] = ode45(duffing, tspan, x0);

% 计算Lyapunov指数
n = length(x(:,1));
lambda = zeros(n-1, 1);
for i = 1:n-1
    dx = x(i+1,:) - x(i,:);
    lambda(i) = log(norm(dx)) / (t(i+1) - t(i));
end

% 绘制轨迹和Lyapunov指数的图像
figure
subplot(2,1,1)
plot(x(:,1), x(:,2))
xlabel('x')
ylabel('dx/dt')
title('Duffing系统轨迹')

subplot(2,1,2)
plot(t(2:end), lambda)
xlabel('t')
ylabel('Lyapunov指数')
title('Duffing系统Lyapunov指数')

% 找到Lyapunov指数的正值和负值的交点，作为阈值
pos_lambda = lambda(lambda > 0);
neg_lambda = lambda(lambda < 0);
threshold = (max(pos_lambda) + min(neg_lambda)) / 2;

% 输出阈值
fprintf('Duffing系统阈值 = %.4f\n', threshold);

这个代码会输出Duffing系统的阈值。用户可以自己尝试调整参数和初始条件，以获得不同的结果。