设A={1,2,3,4,5,6,7,8},A上的一个划分S={{1,2,3},{4,8},{5,6,7}},写出划分S所对应等价关系的关系矩阵
时间: 2023-06-08 10:08:22 浏览: 41
我理解了你的问题,我可以帮你回答。对于集合A={1,2,3,4,5,6,7,8}上的划分S={{1,2,3},{4,8},{5,6,7}},其对应的等价关系R为:{(1,2), (1,3), (2,3), (4,8), (5,6), (5,7), (6,7)}. 可以表示为如下的关系矩阵:
$$
M_R = \begin{bmatrix}
1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1
\end{bmatrix}
$$
其中$M_R(i,j)=1$表示$i$和$j$之间有等价关系,$M_R(i,j)=0$表示$i$和$j$之间没有等价关系。
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设A={1,2,3,4,5,6,7,8},A上的一个划分S={{1,2,3},{4,8},{5,6,7}},写出划分S所对应等价关系的关系矩阵,用数学语言回答
### 回答1:
:根据划分S所对应的等价关系定义,对A中的任意两个元素x,y,若它们属于S中的同一子集,则它们彼此等价;否则它们不等价。因此,我们可以用一个8×8的矩阵来表示这个等价关系,该矩阵中(i,j)位置的值为1,当且仅当i和j等价。因为矩阵是对称的,可以只考虑矩阵上三角或下三角的元素。
以下是矩阵的一种可能的表示方式:
1 1 1 0 0 0 0 0
1 1 1 0 0 0 0 0
1 1 1 0 0 0 0 0
0 0 0 1 0 0 0 1
0 0 0 0 1 1 1 0
0 0 0 0 1 1 1 0
0 0 0 0 1 1 1 0
0 0 0 1 0 0 0 1
其中,矩阵中的1表示对应位置的两个元素等价,0表示不等价。
### 回答2:
划分S所对应的等价关系是指A中的元素在S中划分下,两个元素相等的条件。
首先,将矩阵的行和列分别标记为A的元素,即1-8。矩阵中的元素a(i,j)表示A中元素i和元素j是否相等。
根据划分S,1、2、3是一个集合,所以相互之间相等,对应的矩阵中a(1,2)、a(1,3)、a(2,3)均为1,其它元素均为0。同理,对于4、8和5、6、7,也是相等的,所以矩阵中a(4,8)、a(5,6)、a(5,7)、a(6,7)、a(8,4)均为1。
其它元素均为0,因为不同集合的元素不相等。所以关系矩阵如下:
1 2 3 4 5 6 7 8
1 1 1 1 0 0 0 0 0
2 1 1 1 0 0 0 0 0
3 1 1 1 0 0 0 0 0
4 0 0 0 1 0 0 0 1
5 0 0 0 0 1 1 1 0
6 0 0 0 0 1 1 1 0
7 0 0 0 0 1 1 1 0
8 0 0 0 1 0 0 0 1
数学语言回答就是:划分S所对应的等价关系的关系矩阵如上所示,其中元素a(i,j)表示A中元素i和元素j是否相等。划分S中的每个集合对应矩阵的一部分,集合中的元素互相相等,对应矩阵中的元素为1。不同集合的元素不相等,对应矩阵中的元素为0。
### 回答3:
划分S所对应的等价关系的关系矩阵是一个8x8的矩阵。
对于矩阵中的每一个元素A[i][j](i,j取值范围为1到8),如果元素i和j属于划分S中的同一个集合,则A[i][j]的值为1;否则,A[i][j]的值为0。
具体地,在划分S={{1,2,3},{4,8},{5,6,7}}的情况下,对应的关系矩阵如下:
1 1 1 0 0 0 0 0
1 1 1 0 0 0 0 0
1 1 1 0 0 0 0 0
0 0 0 1 0 0 0 1
0 0 0 0 1 1 1 0
0 0 0 0 1 1 1 0
0 0 0 0 1 1 1 0
0 0 0 1 0 0 0 1
其中,对角线上的元素为1,表示每个元素与自身是等价的;矩阵中的对称性也体现了等价关系的传递性。
因此,划分S所对应的等价关系的关系矩阵就是上述矩阵。
设集合A={1,3,5,7,9,11,13,15},A上的一个划分S={{1,15},{3,9,11,13},{5,7}}。试求由S导出的A上的等价关系R。
由划分S可以得到三个等价类:[1,15]、[3,9,11,13]和[5,7]。因此,对于集合A中的任意两个元素x和y,如果它们在同一个等价类中,则它们之间存在等价关系,否则它们之间不存在等价关系。因此,由S导出的A上的等价关系R包含以下有序对:
(1,1)、(1,15)、(15,1)、(15,15)
(3,3)、(3,9)、(3,11)、(3,13)、(9,3)、(9,9)、(9,11)、(9,13)、(11,3)、(11,9)、(11,11)、(11,13)、(13,3)、(13,9)、(13,11)、(13,13)
(5,5)、(5,7)、(7,5)、(7,7)
因此,R = {(1,1),(1,15),(15,1),(15,15),(3,3),(3,9),(3,11),(3,13),(9,3),(9,9),(9,11),(9,13),(11,3),(11,9),(11,11),(11,13),(13,3),(13,9),(13,11),(13,13),(5,5),(5,7),(7,5),(7,7)}。