设A={1,2,3,4,5},在P(A)上定义关系。R为一个等价关系,共有几个不同的等价类 ，并说出理由

在P(A)上定义关系R：对于S，T属于P(A)，S R T 当且仅当S和T的交集非空。

我们需要证明R是一个等价关系：

1. 自反性：对于任意的S属于P(A)，S和S的交集非空，因此S R S，满足自反性。
2. 对称性：对于任意的S，T属于P(A)，若S R T，则S和T的交集非空，即T和S的交集也非空，因此T R S，满足对称性。
3. 传递性：对于任意的S，T，U属于P(A)，若S R T且T R U，则S和T的交集、T和U的交集都非空，因此S和U的交集也非空，即S R U，满足传递性。

因此，R是一个等价关系。

由于A中有5个元素，因此P(A)中共有2^5=32个元素。由于等价类的定义是所有元素之间关系具有对称性、传递性和自反性，因此等价类的划分是一组非空子集，其中每个子集都是包含在P(A)中的元素的集合，并且这些子集之间互不相交，且它们的并集是P(A)。因此，等价类的数量等于所有可能的非空子集数目。

对于一个具有n个元素的集合，其非空子集的数量为2^n-1。因此，对于A集合，其非空子集的数量为2^5-1=31。因此，A集合的任意划分都有31个不同的等价类。

相关问题

设A = {1，2，3，4}，在 P(A)上规定二元关系如下. R = {<s，t>|s，t∈P(A) ∧(|s|=|t|)} 证明：R是P(A)上的等价关系并写出商集P(A)/R.

首先证明R是P(A)上的等价关系，需要满足以下三个条件：

1. 自反性：对于任意的A∈P(A)，有<A，A>∈R。这是因为任意一个集合与自己的元素个数相等。

2. 对称性：对于任意的A，B∈P(A)，如果<A，B>∈R，则<B，A>∈R。这是因为如果A与B的元素个数相等，那么B与A的元素个数也相等。

3. 传递性：对于任意的A，B，C∈P(A)，如果<A，B>∈R 且<B，C>∈R，则<A，C>∈R。这是因为如果A与B的元素个数相等，B与C的元素个数相等，那么A与C的元素个数也相等。

因此，R是P(A)上的等价关系。

接下来，我们需要写出商集P(A)/R。首先，对于任意的A∈P(A)，[A]表示包含A的所有集合的等价类。例如，[1，2]表示所有元素个数为2且包含1和2的集合的集合。

根据等价类的定义，我们可以将P(A)划分为若干个等价类的集合。其中，每个等价类都包含元素个数相等的集合。因此，商集P(A)/R可以表示为：

P(A)/R = {[A]|A∈P(A)}

其中，[A]表示包含A的所有元素个数相同的集合的等价类。

设R为集合X上的二元关系，X={1,2,3,4,5,6,7},R={<1,1>,<1,2>,<2,4>,<6,3>,<6,6>,<7,1>}，求：（1）R的等价闭包P(R)（包含R的最小等价关系）。（2）求X/P(R)。

首先，我们需要求出R的等价闭包P(R)。P(R)是包含R的最小等价关系，因此我们需要在R的基础上添加若干个有序对，使得新的关系满足以下三个条件：

1. 自反性：对于任意的x∈X，有<x,x>∈P(R)；
2. 对称性：对于任意的x,y∈X，如果<x,y>∈P(R)，则<y,x>∈P(R)；
3. 传递性：对于任意的x,y,z∈X，如果<x,y>∈P(R)且<y,z>∈P(R)，则<x,z>∈P(R)。

根据已知的R，我们可以得到以下等价类：

[1] = {1, 2, 7}
[2] = {4}
[3] = {6}

因此，P(R)包含以下有序对：

{<1,1>, <1,2>, <1,7>, <2,1>, <2,2>, <2,7>, <7,1>, <7,2>, <7,7>, <3,3>, <6,3>, <6,6>}

接下来，我们需要求X/P(R)，即商集。根据等价类的定义，我们可以得到以下等价类：

[1] = {1, 2, 7}
[4] = {4}
[6] = {3, 6}

因此，X/P(R) = {[1], [4], [6]}。

注意：商集中的元素是等价类，而不是元素本身。