设A = {1，2，3，4}，在 P(A)上规定二元关系如下. R = {<s，t>|s，t∈P(A) ∧(|s|=|t|)} 证明：R是P(A)上的等价关系并写出商集P(A)/R.

首先证明R是P(A)上的等价关系，需要满足以下三个条件：

1. 自反性：对于任意的A∈P(A)，有<A，A>∈R。这是因为任意一个集合与自己的元素个数相等。

2. 对称性：对于任意的A，B∈P(A)，如果<A，B>∈R，则<B，A>∈R。这是因为如果A与B的元素个数相等，那么B与A的元素个数也相等。

3. 传递性：对于任意的A，B，C∈P(A)，如果<A，B>∈R 且<B，C>∈R，则<A，C>∈R。这是因为如果A与B的元素个数相等，B与C的元素个数相等，那么A与C的元素个数也相等。

因此，R是P(A)上的等价关系。

接下来，我们需要写出商集P(A)/R。首先，对于任意的A∈P(A)，[A]表示包含A的所有集合的等价类。例如，[1，2]表示所有元素个数为2且包含1和2的集合的集合。

根据等价类的定义，我们可以将P(A)划分为若干个等价类的集合。其中，每个等价类都包含元素个数相等的集合。因此，商集P(A)/R可以表示为：

P(A)/R = {[A]|A∈P(A)}

其中，[A]表示包含A的所有元素个数相同的集合的等价类。

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设A={1，2，3}，则A上有几个二元关系，为什么

根据定义，一个二元关系是指由集合中的有序数对构成的集合。对于集合A={1,2,3}，可以有以下数对构成的二元关系：

{(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3)}

共有9个数对，因此A上共有9个二元关系。这是因为对于数对中的每个元素，它可以与A中的任何一个元素构成一个数对，且每个元素可以重复使用，因此总共有A中元素个数的平方个可能的数对，即9个二元关系。

合 A={1,2,3,4}上的二元关系，R={<1,1>,<2,2>,<1,2>，<2,3>},则 R 满足

R是A上的二元关系，且包含以下元素对：<br>
- <1,1>
- <2,2>
- <1,2>
- <2,3>

因此，R满足以下性质：<br>
1. 自反性：对于任意的a∈A，都有(a,a)∈R。<br>
例如，<1,1>和<2,2>都包含在R中，满足自反性。但是，<3,3>和<4,4>不包含在R中，不满足自反性。
2. 非对称性：如果(a,b)∈R，则(b,a)∉R。<br>
例如，<1,2>包含在R中，但是<2,1>不包含在R中，满足非对称性。同样地，<2,3>包含在R中，但是<3,2>不包含在R中，也满足非对称性。
3. 传递性：如果(a,b)∈R且(b,c)∈R，则(a,c)∈R。<br>
例如，<1,2>和<2,3>都包含在R中，因此根据传递性，<1,3>也应该包含在R中。但是，<1,3>不包含在R中，因此不满足传递性。

综上所述，R是A上的一个自反的、非对称的、不满足传递性的二元关系。