设R为NxN上的二元关系,<a,b>,<c,d>属于NxN,<a,b>R<c,d><=>a+d=b+c 证明R为等价关系
时间: 2024-05-28 18:01:20 浏览: 17
为了证明R是等价关系,需要证明它满足自反性、对称性和传递性。
1. 自反性:对于任意的<a,b>,有<a,b>R<a,b>,因为a×b=b×a,所以<a,b>R<a,b>成立,因此R具有自反性。
2. 对称性:对于任意的<a,b>和<c,d>,如果<a,b>R<c,d>,那么有a×d=b×c,因此b×a=d×c,即<c,d>R<a,b>,因此R具有对称性。
3. 传递性:对于任意的<a,b>、<c,d>和<e,f>,如果<a,b>R<c,d>且<c,d>R<e,f>,那么有a×d=b×c和c×f=d×e,由此可得a×f=b×e,即<a,b>R<e,f>,因此R具有传递性。
综上所述,R既满足自反性、对称性和传递性,因此R是等价关系。
相关问题
设R为NxN上的二元关系,<a,b>,<c,d>属于NxN,<a,b>R<c,d>= a+d=b+c 证明R为等价关系
要证明R为等价关系,需要证明R满足自反性、对称性和传递性。
自反性:对于任意的<a,b>,<a,b>R<a,b>,因为ad=bc,所以ad=ad,所以自反性成立。
对称性:对于任意的<a,b>和<c,d>,如果<a,b>R<c,d>,即ad=bc,则<c,d>R<a,b>,即cb=da,因此对称性成立。
传递性:对于任意的<a,b>、<c,d>和<e,f>,如果<a,b>R<c,d>且<c,d>R<e,f>,即ad=bc和cf=de,则有adcf=bccf=bde=bdf,因此<a,b>R<e,f>,传递性成立。
综上所述,R为等价关系。
设对于一个nxn的上三角矩阵a
上三角矩阵是指所有主对角线以下的元素都为0的矩阵。设对于一个nxn的上三角矩阵a,则它的特点如下:
1. 主对角线上的元素是矩阵a的主对角元素,它们决定了矩阵a的主要特征。主对角元素可以是任意值,包括0。
2. 主对角线以下的元素都为0,这意味着矩阵a的所有非主对角元素都是0。这样的特点使得上三角矩阵具有较为简洁的结构。
3. 矩阵a的逆矩阵也是一个上三角矩阵。对于非奇异的上三角矩阵a,它的逆矩阵也是一个上三角矩阵。这种性质使得求解上三角矩阵的逆矩阵比较容易。
4. 上三角矩阵的转置还是一个上三角矩阵。矩阵a的转置是将矩阵a的行变为对应的列得到的,由于矩阵a的上三角形态,它的转置仍然保持上三角形态。
5. 上三角矩阵的特征值等于其主对角元素。一个上三角矩阵的特征值即为其主对角元素的集合。这个性质使得上三角矩阵的特征值计算变得简单。
综上所述,对于一个nxn的上三角矩阵a,它具有主对角元素的任意性、非主对角元素为0、逆矩阵仍为上三角矩阵、转置仍为上三角矩阵、特征值等于主对角元素的特点。这些特点使得上三角矩阵在研究和计算中具有一定的优势。
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