集合A={1,2,3,4}上二元关系R和S分别为R={<1,2>,<2,3>,<3,4>},S={<1,3>,<1,1>,<3,4>,<4,3>,<3,1>},判断R和S是否是:自反,反自反,对称,反对称,传递,反传递。
时间: 2023-06-17 11:07:18 浏览: 63
首先解释一下几个概念:
- 自反:对于集合A中的每个元素a,都有(a,a)∈R(或S)。
- 反自反:对于集合A中的每个元素a,都有(a,a)∉R(或S)。
- 对称:对于集合A中的任意两个元素a,b,若(a,b)∈R(或S),则(b,a)∈R(或S)。
- 反对称:对于集合A中的任意两个元素a,b,若(a,b)∈R(或S)且(b,a)∈R(或S),则a=b。
- 传递:对于集合A中的任意三个元素a,b,c,若(a,b)∈R(或S)且(b,c)∈R(或S),则(a,c)∈R(或S)。
- 反传递:对于集合A中的任意三个元素a,b,c,若(a,c)∈R(或S)且(a,b)∉R(或S)且(b,c)∉R(或S),则(b,a)∈R(或S)。
根据上述定义,我们可以逐一判断R和S是否具有这些性质:
- R不是自反关系,因为(1,1)、(2,2)、(4,4)不在R中。
- R不是反自反关系,因为(1,1)、(2,2)、(4,4)不在R中。
- R是对称关系,因为对于任意的(a,b)∈R,都有(b,a)∈R。比如(1,2)∈R,所以(2,1)∈R;(2,3)∈R,所以(3,2)∈R。
- R不是反对称关系,因为(2,3)∈R且(3,2)∈R,但2≠3。
- R是传递关系,因为对于任意的(a,b)、(b,c)∈R,都有(a,c)∈R。比如(1,2)、(2,3)∈R,所以(1,3)∈R。
- R不是反传递关系,因为不存在(a,c)∈R且(a,b)∉R且(b,c)∉R的情况。
- S不是自反关系,因为2不在S中。
- S是反自反关系,因为所有(a,a)都不在S中。
- S不是对称关系,因为(1,3)∈S,但(3,1)不在S中。
- S不是反对称关系,因为(1,3)∈S且(3,1)∈S,但1≠3。
- S是传递关系,因为对于任意的(a,b)、(b,c)∈S,都有(a,c)∈S。比如(1,3)、(3,4)∈S,所以(1,4)∈S。
- S不是反传递关系,因为不存在(a,c)∈S且(a,b)∉S且(b,c)∉S的情况。
综上所述,R是对称且传递关系,S是反自反且传递关系。