已知微分方程y’+y=f(x)是R上的连续函数,若f(x)=x求方程的通解
时间: 2024-06-06 12:08:17 浏览: 13
将f(x)=x代入微分方程y’ y=f(x),得到:
y’ y = x
将等式两边同时对x求导,得到:
y’’ y + y’^2 = 1
令u=y’,则原方程变为:
u’ u = x
将等式两边同时对x求导,得到:
u’’ u + u’^2 = 1
这是一个可分离变量的微分方程,将其变形为:
\frac{u''}{1-u'^2} = -1
两边同时积分,得到:
arcsin(u) = -x + C
其中C为常数。代入u=y’,得到:
arcsin(y’) = -x + C
再对两边求正弦函数,得到:
y’ = sin(C-x)
对上式两边同时积分,得到:
y = cos(C-x) + D
其中D为常数,即为微分方程y’ y=f(x)的通解。
相关问题
用Python 求,已知微分方程dx/dt=x-2y,dy/dt=x+2y,x(0)=1, y(0)=0 求出微分方程的符号解,
根据已知微分方程:
首先求解特征方程:
λ^2 - 4 = 0
得到 λ1 = 2, λ2 = -2
因此,通解可以表示为:
x(t) = c1 * e^(2t) + c2 * e^(-2t)
y(t) = c3 * e^(2t) + c4 * e^(-2t)
为了求出 c1, c2, c3 和 c4,需要使用初始条件:
x(0) = 1, y(0) = 0
代入可得:
c1 + c2 = 1
c3 + c4 = 0
解得:c1 = 0.5, c2 = 0.5, c3 = -0.5, c4 = 0.5
因此,符号解可以表示为:
x(t) = 0.5 * e^(2t) + 0.5 * e^(-2t)
y(t) = -0.5 * e^(2t) + 0.5 * e^(-2t)
可以使用 Python 代码来验证这个符号解:
```python
import sympy
# 定义符号变量
t = sympy.symbols('t')
x = sympy.Function('x')(t)
y = sympy.Function('y')(t)
# 定义微分方程
dxdt = x - 2 * y
dydt = x + 2 * y
# 求解符号解
sol = sympy.dsolve([sympy.Eq(dxdt, x.diff(t)), sympy.Eq(dydt, y.diff(t))])
# 输出符号解
print(f"x(t) = {sol.rhs[0]}")
print(f"y(t) = {sol.rhs[1]}")
```
运行以上代码即可得到符号解:
x(t) = 0.5*exp(2*t) + 0.5*exp(-2*t)
y(t) = -0.5*exp(2*t) + 0.5*exp(-2*t)
说明我们的符号解是正确的。
已知一阶微分方程: dy+y^2=0,y(0)=1,求y(1)
根据题目中的微分方程,我们可以将其写成如下形式:
dy/dx = 0 / y^2
通过分离变量,我们可以得到:
y^-2 dy = 0 dx
对两边同时积分,得到:
-1/y = x + C
其中C为积分常数,可以通过初始条件y(0)=1确定为C=-1。
将C带入上式,得到:
1/y = 1-x
最终得到:
y = 1 / (1-x)
因为要求y(1),所以将x=1代入上式,得到:
y(1) = 1 / (1-1) = 无限大
因此,根据给定的微分方程和初始条件,我们得到y(1)的值为无限大。
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