RtJournalof the Egyptian Mathematical Society(2012)20,43埃及数学学会埃及数学学会www.etms-eg.orgwww.elsevier.com/locate/joems短通信一类六阶非线性时滞微分方程CemilTunc土耳其,65080Van,YuüzuüncuüYıl大学,理学院,数学系2012年3月19日在线提供摘要建立了一类六阶非线性时滞微分方程的不稳定性定理。该定理的证明是基于使用Lyapu-nov-Krasovskii函数方法。通过这一工作,将文献中关于某个六阶非线性无时滞微分方程的不稳定性结果推广到某个六阶非线性时滞微分方程零解的不稳定性2011年埃及数学学会。制作和主办:Elsevier B.V.在CC BY-NC-ND许可下开放访问。1. 介绍1982年,Ezeilo[2]证明了六阶非线性无时滞微分方程x600吨/年a1x500吨/年a2x400吨/年ax000吨/年;x0吨/年;x0 0吨/年;x000吨/年;x004吨/年;x005吨/年x00 0吨/年f在本文中,而不是Eq。(1)考虑六阶非线性时滞微分方程电子邮件地址:cemtunc@yahoo.com1110- 256 X? 2011埃及数学学会。制作和主办:ElsevierB.V. 在CC BY-NC-ND许可下开放访问。x106吨/ 年a1x105吨/ 年a2x104吨/年ax 104吨/年bx104吨/年-r;x0吨/年-r;x0吨/年— r;x000t-r;x4t-r;x5t-r tx000tf— r;x4t-r;x5t-rx0th xt-rh0:2我们写Eq。(2)系统形式为x01¼x2;x02¼x3;x03¼x4;x04¼x5;x05¼x6;x06¼-a1x6-a2x5-ex1t-r;x2t-r;x3t-r;x4 t- r; x5 t- r; x6 t-r x4 t- r-f x2 x3-gx1t -r;x2t-r;x3t-r;x4t-r;x5t-r;xt-rx-hxh0x sxsds;同行评审由埃及数学学会负责6 2 1t-r1 2ð3Þdoi:10.1016/j.joems.2011.12.006它通常通过在 ( 2 ) 中 设置x=x1,x01/4x2 ,x001/4x3 ,x0001/4 x4 ,x0041/4x5和x0051/4x6来获得,其中r是正常数,a1,a2是一些常数,等式中的素数。(2)注意关于t,t2ffi= 0;ff i=1/20;1/2;e的微分,关键词不稳定性;时滞微分方程;六阶制作和主办:Elseviers6t60ðÞ6t 6¼ ¼ ð Þ6s6¼3Þ ðÞ12345612345620ZZ有界集合到有界集合。这是从《易经》中得出的。21是一个正的常数,44C. 屯村f,g和h分别是ffi6,ffi,ffi6和ffi上的连续函数,h(0)=0,且满足Lipschitz条件(i) 对于所有/在G中的V_i/i>0,在各自的论点中。因此,方程的解的存在性和唯一性(2)保证(见E `l'sgol'ts [1,pp. 14-15])。我们假设在下文中,函数h是V½/10V]¼-最大值或V½/Vs>0可微的,并且x1t,x2t,x3t,x4t,x5t和x6t分别缩写为x1,x2,x3,x4,x5和x6。据我们的观察,自1982年至今,各种六阶非线性无时滞标量和向量微分方程解的不稳定性已在文献中讨论过,并且仍在研究中(例如,见Ezeilo[2],Tiryaki[5],Tunc [6-10]和Tun c and Tun c [11])。 写这篇论文的动机来自于前面提到的关于六阶非线性无时滞微分方程的论文。 本文的目的是得到文[2]中关于非线性时滞微分方程零解不稳定性的结果。另一方面,据我们所知,我们没有发现任何关于解的不稳定性的工作。六阶线性和非线性时滞微分方程的解。 缺乏关于该主题的任何论文的基本原因可能是构造或定义适当的李雅普诺夫函数(ii) 对于所有/在G中的V_i/i>0,V½/10V]1/4-smin0V½/10V]>0;则解x0fx_Fxt 不稳定(参见Haddock和Ko [3])。2. 主要结果我们的主要结果是下面的定理。定理连同对方程中的函数e、f、g和h施加的所有假设,(2),我们假设存在常数a1- 0,a6和d,使得以下条件成立:h00;hx1- 对于x1或泛函的不稳定性问题,相对于高阶时滞微分方程在这里,通过定义一个适当的李雅普诺夫泛函,我们进行我们的pur-pur-g:sgna11-4ja1je2:Pd>0:pose.本文是对这一课题的首次尝试和工作在文学作品中。设rP0已知,设C/C=r;0];k/k ¼-r最大值0j/s/2C:对于H>0,定义CHC为:然后,零解,x0,方程。(2)不稳定,的<研发:一个6证据考虑以下函数:V/V=1;x2;x3;x4;x5;x6通过CH/f/2C:k/kHg:如果x:1/2-r;a]! 如果n是连续的,0
01100,存在d<$d<$e<$0,使得k/k0。让x;x;x;x; x;x定理A. 假设存在一个李雅普诺夫函数V:G!如果x为-0,则使得V=0且V=x> 0。如果任何一是(3)的任意解。通过初等微分,(5)中的泛函V1沿(3)的解的时间导数给出:202222222一1DTDT12T4t6tD- 21 6 1 1262手,dt11 t2 T3 T4 t5 t6t一类六阶非线性时滞微分方程的不稳定性定理V_x;x;x;x;x;x(参见Krasovskii[4])。通过以上讨论,我们得出结论,Eq的零解(2)不稳定。神的证据四分之一个1x4英寸的玻璃杯x1英寸的玻璃杯;. ; x6t-rx2x4g. 2 gsgna1ZtZt22REM完成。引用-x2.t-R h0x1sx2sds-k12k1t-R x2个100秒的双头2[1] L.E`。E`1jx4 mmZt-x2t-R2ja1j 电子邮件:info@hkx2.com4ja1j2:100克x2方程 与 偏离 争论 翻译 从作者:Robert J. McLaughlin Holden-Day,Inc.San旧金山,加利福尼亚-伦敦-阿姆斯特丹,1966年。[2]J.O.C. Ezeilo,一个六阶不稳定性定理1号线不t-Rx2个半导体器件:微分方程,J.澳大利亚数学Soc. 序列A 32(1)(1982)129-133.[3] J.R.黑线鳕,Y. Ko,假设a6Ph0<$x1<$0>0,2jmnj6m2n2意味着,具有有限延迟的方程。第二届杰弗里·巴特勒微分方程和数学生物学纪念会议(埃德蒙顿,AB,1992年),洛基-x2不t-Rh0x1sx2sdsP-jx2j不t-Rh0x1sjx2sjds山J。25(1)(1995)261[4] N.N.克拉索夫斯基,稳定性的议案的应用使得1Pa6212a6tt-rx2个100秒的双头微分系统的李雅普诺夫延迟方程翻译:J.L.斯坦福大学出版社,斯坦福,加利福尼亚州,1963年。[5] A. Tiryaki,某个六阶微分方程,Ind.J. 纯应用数学21(4)(1990)330V_ Pfd-12-1apkkrgx2pkr.k-1a设k为1/41a6。因此tt-rx2个半导体器件:333.[6] C. 李文,一个六阶微分方程组的不稳定性结果,应用数学与计算。157(2)(2004)477- 481。[7] C. 关于一类六阶非线性系统的不稳定性V_1 P<0.01-a6r< 0.01x2>0如果R