matlab，利用正交多项式的方法逐次作曲线拟合 xi 0 0.25 0.50 0.75 1.00 fi 1.0000 1.2840. 1.6487 2.1170 2.7183

利用正交多项式的方法逐次作曲线拟合可以采用最小二乘法，并且可以选择不同的正交多项式作为基函数进行拟合。这里我们选择使用Legendre多项式进行拟合。

首先，我们需要将数据中的自变量 x 进行线性变换，将其映射到区间 [-1, 1] 上，以便使用Legendre多项式。具体来说，我们可以使用以下的公式：

x = 2 * (x - min(x)) / (max(x) - min(x)) - 1

接下来，我们可以使用Legendre多项式对数据进行拟合。为了方便起见，我们可以使用MATLAB自带的legendre函数来生成Legendre多项式。具体来说，我们可以使用以下的代码：

n = 5; % 选择Legendre多项式的阶数
x = [0.00, 0.25, 0.50, 0.75, 1.00];
f = [1.0000, 1.2840, 1.6487, 2.1170, 2.7183];

% 将自变量x进行线性变换，将其映射到区间[-1, 1]
x = 2 * (x - min(x)) / (max(x) - min(x)) - 1;

% 生成Legendre多项式
P = zeros(n+1, length(x));
P(1,:) = 1;
P(2,:) = x;
for i = 2:n
P(i+1,:) = ((2*i-1) * x .* P(i,:) - (i-1) * P(i-1,:)) / i;
end

% 计算拟合系数
c = P * f' / length(x);

% 绘制拟合曲线
xx = linspace(-1, 1, 100);
PP = zeros(n+1, length(xx));
PP(1,:) = 1;
PP(2,:) = xx;
for i = 2:n
PP(i+1,:) = ((2*i-1) * xx .* PP(i,:) - (i-1) * PP(i-1,:)) / i;
end
yy = PP' * c;

plot(x, f, 'o', xx, yy, '-')
legend('原始数据', '拟合曲线')
xlabel('x')
ylabel('f(x)')

上述代码中，n = 5 表示选择Legendre多项式的阶数为5，x 和 f 分别表示原始数据中的自变量和因变量。在生成Legendre多项式时，我们使用了递推公式来计算多项式，避免了直接计算Legendre多项式的高阶导数。计算拟合系数时，我们使用了最小二乘法，并且将拟合系数除以了样本个数，以得到平均值。最后，我们绘制了拟合曲线，并将其与原始数据进行了比较。