用邻接表和邻接矩阵分别表示图

邻接表是一种表示图的数据结构，它使用链表的形式来表示每个顶点的邻居节点。具体来说，对于每个顶点，用一个节点来表示它，并将它所有的邻居节点连接成一个链表。这种方式可以有效地表示稀疏图，因为只有存在边的节点才会被存储在链表中。邻接表可以用数组和链表来实现。

邻接矩阵则是使用二维数组来表示图的连接情况。二维数组的每个元素表示的是两个顶点之间是否存在边，如果存在边则对应元素的值为1，否则为0。如果是有向图，则邻接矩阵不一定是对称的。邻接矩阵可以用一个二维数组来表示，其中第i行第j列的元素表示第i个节点到第j个节点是否有边相连。这种方式可以有效地表示稠密图，因为每个节点都需要存储它到其他节点的连接情况。

相关问题

邻接矩阵和邻接表表示图时各有什么优缺点，邻接矩阵如何表示有向图，邻接矩阵分别用行还是列代表入点和出点?

邻接矩阵和邻接表都是用于表示图的数据结构。

邻接矩阵是一种二维数组，其中行和列表示节点，矩阵中的值表示边的权重或存在性。如果节点 i 和节点 j 之间存在一条边，则邻接矩阵中 M(i, j) 的值为 1 或边的权重值。否则，M(i, j) 的值为 0 或表示不存在边的一个特殊值（如无穷大）。

邻接矩阵的优点是可以快速地判断两个节点之间是否有边相连，但缺点是空间复杂度高，当图中边的数量很大时会占用大量的空间，而且不适合表示稀疏图。

相比之下，邻接表是一种链表数组。每个节点对应一条链表，该链表存储所有与该节点相连的其他节点。具体来说，每个链表中存储着该节点所连的边的信息，例如边的起点、终点、权重等等。因此，邻接表对于稀疏图来说更加适合。

邻接表的优点是可以用较少的空间存储较稀疏的图，缺点是查询任意两个节点之间是否有边要遍历整个链表。

对于有向图而言，邻接矩阵可以很方便地表示，只需将邻接矩阵中的 M(i,j) 表示节点 i 到 j 的有向边即可。如果用邻接表表示，则需要记录每条有向边的起点和终点。

最后回答你的问题：在邻接矩阵中，通常用行来代表入点，用列来代表出点。因此，若将有向图表示为邻接矩阵，则行表示该节点作为终点的边数，列则表示该节点作为起点的边数。

现在某电信公司要对如图的V0-V5几个城市之间进行光纤连接布线，公司想以最小的代价将所有城市连通，方便所有城市间通信，请你： 1、用邻接表和邻接矩阵分别表示该图。 2、基于邻接表或邻接矩阵输出每个结点的度。 用普里姆算法和克鲁斯卡尔算法实现本图的最小生成树（此类算法为贪心算法）。

1. 邻接表和邻接矩阵表示图：

邻接表：

| 城市 | 连接的城市 |
| ---- | ---------- |
| V0 | V1, V2 |
| V1 | V0, V2, V3 |
| V2 | V0, V1, V3 |
| V3 | V1, V2, V4, V5 |
| V4 | V3, V5 |
| V5 | V3, V4 |

邻接矩阵：

| | V0 | V1 | V2 | V3 | V4 | V5 |
| - | -- | -- | -- | -- | -- | -- |
| V0 | 0 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 |
| V1 | 1 | 0 | 1 | 1 | 0 | 0 |
| V2 | 1 | 1 | 0 | 1 | 0 | 0 |
| V3 | 0 | 1 | 1 | 0 | 1 | 1 |
| V4 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 1 |
| V5 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 0 |

2. 输出每个结点的度

对于邻接表表示的图，每个节点的度即为连接的城市的个数；对于邻接矩阵表示的图，每个节点的度即为该节点所在行或列的和。

以邻接表为例，各节点的度为：

- V0 的度为 2
- V1 的度为 3
- V2 的度为 3
- V3 的度为 4
- V4 的度为 2
- V5 的度为 2

3. 普里姆算法和克鲁斯卡尔算法实现最小生成树

普里姆算法：

1. 从起点开始，将起点加入最小生成树中。
2. 选择与最小生成树相邻的最小边权的点加入最小生成树中。
3. 重复步骤2，直到所有的点都加入最小生成树中。

以邻接表表示的图为例，从 V0 开始，最小生成树的构建过程如下：

1. 加入 V0
2. 选择 V1
3. 选择 V2
4. 选择 V3
5. 选择 V4
6. 选择 V5

最小生成树的边集为 {(V0, V1), (V0, V2), (V1, V3), (V3, V4), (V4, V5)}，总权值为 8。

克鲁斯卡尔算法：

1. 将所有边按照边权从小到大排序。
2. 依次选择边，如果这条边的两个端点不在同一个连通块中，就将这条边选择到最小生成树中。

以邻接矩阵表示的图为例，最小生成树的构建过程如下：

1. 选择权值最小的边 (V0, V1)，加入最小生成树。
2. 选择权值次小的边 (V0, V2)，加入最小生成树。
3. 选择权值次小的边 (V1, V2)，加入最小生成树。
4. 选择权值次小的边 (V1, V3)，加入最小生成树。
5. 选择权值次小的边 (V3, V4)，加入最小生成树。
6. 选择权值次小的边 (V3, V5)，加入最小生成树。

最小生成树的边集为 {(V0, V1), (V0, V2), (V1, V2), (V1, V3), (V3, V4), (V3, V5)}，总权值为 8。