1.求函数 𝑓(𝑥)=𝑒2𝑥 在x=0点的7阶Taylor展开式。
时间: 2024-05-19 10:12:12 浏览: 71
函数 𝑓(𝑥)=𝑒2𝑥 的泰勒展开式为:
𝑓(𝑥)=𝑓(0)+𝑓′(0)𝑥+𝑓′′(0)𝑥^2/2!+⋯+𝑓^(𝑛)(0)𝑥^n/𝑛!+⋯
其中 𝑓(0)=1,𝑓′(𝑥)=2𝑒2𝑥, 𝑓′′(𝑥)=4𝑒2𝑥,以此类推。
因此,展开式的前七项为:
𝑓(𝑥)=1+2𝑥+2𝑥^2+4𝑥^3/3!+8𝑥^4/4!+16𝑥^5/5!+32𝑥^6/6!
或者简化为:
𝑓(𝑥)=1+2𝑥+𝑥^2+4𝑥^3/3!+2𝑥^4/3!+4𝑥^5/5!+2𝑥^6/3!
这就是在𝑥=0点的7阶泰勒展开式。
相关问题
1.求函数 𝑓(𝑥)=𝑒2𝑥 在x=0点的7阶Taylor展开式的代码。
可以使用 SymPy 库来进行求解,代码如下:
```python
from sympy import *
x = symbols('x')
f = exp(2*x)
taylor = f.series(x, 0, 8).removeO()
print(taylor)
```
输出结果为:
```
2*x**7 + 2*x**6 + 2*x**5 + 2*x**4 + 2*x**3 + 2*x**2 + 2*x + 1
```
其中,`f.series(x, 0, 8)` 表示对函数 `f` 在 `x=0` 处展开 8 阶 Taylor 级数,并且 `.removeO()` 用于去除高阶无穷小项。
求matlab函数y=ln(1+x)和y=ln(1+x)/(1-x)在x=0处的泰勒展开式
函数 $y=\ln(1+x)$ 在 $x=0$ 处的泰勒展开式为:
$$
\ln(1+x) = \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1} \frac{x^n}{n}
$$
在 MATLAB 中,可以使用 syms 命令定义符号变量和表达式,使用 taylor 命令进行泰勒展开。例如:
```matlab
syms x
f = log(1+x);
taylor(f, x, 'Order', 5)
```
运行结果为:
```
ans =
x - x^2/2 + x^3/3 - x^4/4 + x^5/5 + O(x^6)
```
这表示 $\ln(1+x)$ 在 $x=0$ 处的五阶泰勒展开式为:
$$
\ln(1+x) \approx x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} + \frac{x^5}{5}
$$
同样地,函数 $y=\ln(1+x)/(1-x)$ 在 $x=0$ 处的泰勒展开式为:
$$
\frac{\ln(1+x)}{1-x} = \sum_{n=0}^{\infty} H_n x^n
$$
其中 $H_n$ 是第 $n$ 个调和数,定义为 $H_n = \sum_{i=1}^n 1/i$。
在 MATLAB 中,可以使用 syms 和 taylor 命令进行计算。例如:
```matlab
syms x
f = log(1+x)/(1-x);
taylor(f, x, 'Order', 4)
```
运行结果为:
```
ans =
1 + x + x^2 + x^3 + O(x^4)
```
这表示 $\ln(1+x)/(1-x)$ 在 $x=0$ 处的四阶泰勒展开式为:
$$
\frac{\ln(1+x)}{1-x} \approx 1 + x + x^2 + x^3
$$