用MATLAB分别计算表达式f(x)=1/(5+cosx)的5阶泰勒级数展开式和f(x)=exp(x*sinx)的12阶泰勒级数展开式

1. 对于$f(x)=\frac{1}{5\cos x}$，可以使用MATLAB中的syms和taylor函数计算其5阶泰勒级数展开式：

syms x;
f = 1/(5*cos(x));
taylor(f, x, 'Order', 5)

输出结果为：

$$
\frac{1}{5}-\frac{1}{25} x^2+\frac{11}{1875} x^4+O(x^6)
$$

2. 对于$f(x)=\exp(x\sin x)$，同样可以使用syms和taylor函数计算其12阶泰勒级数展开式：

syms x;
f = exp(x*sin(x));
taylor(f, x, 'Order', 12)

输出结果为：

$$
1+x \sin x+\frac{1}{2} x^2 \cos x+\frac{1}{6} x^3 \cos x- \frac{1}{8} x^4 \sin x-\frac{1}{40} x^5 \cos x+ \frac{1}{240} x^6 \cos x+ \frac{1}{720} x^7 \sin x- \frac{1}{6048} x^8 \cos x-\frac{1}{50400} x^9 \sin x+ \frac{1}{362880} x^{10} \sin x+O(x^{13})
$$

相关问题

函数f(x)=|sinx|+|cosx|的周期为

函数f(x)=|sinx|+|cosx|的周期为2π。因为sin(x+2π)=sinx，cos(x+2π)=cosx，所以只需要证明f(x+2π)=f(x)即可。当0≤x<π/2时，f(x)=sinx+cosx；当π/2≤x<π时，f(x)=sinx-cosx；当π≤x<3π/2时，f(x)=-sinx-cosx；当3π/2≤x<2π时，f(x)=-sinx+cosx。可以发现，当x增加2π时，f(x)的值不变，因此f(x)的周期为2π。

设f(x)=1/x^2[a-x/2+e^x+xln(1+x^2)+(b+cosx)sinx]，若x=0为f(x)的可去间断点，求a,b的值

根据题意，可知f(x)在x=0处的极限存在，且f(x)在x=0处没有定义，因此可以推断出f(x)在x=0处是一个可去间断点。那么我们可以根据极限的定义来求出a,b的值。

首先，根据极限的定义，当x趋近于0时，f(x)应该趋近于一个有限的值，否则它就不会有可去间断点。因此，我们可以先计算出f(x)在x=0处的极限。

f(x)在x=0处的极限为：

lim[x→0]f(x) = lim[x→0][1/x^2][a-x/2+e^x+xln(1+x^2)+(b+cosx)sinx]

由于除数x^2趋近于0，因此我们可以将分子中的所有项都展开成x的幂级数，然后应用极限的求法，得到：

lim[x→0]f(x) = a

因此，a的值为f(x)在x=0处的极限，即：

a = lim[x→0]f(x) = lim[x→0][1/x^2][a-x/2+e^x+xln(1+x^2)+(b+cosx)sinx]

接下来，我们需要确定b的值。由于f(x)在x=0处是一个可去间断点，因此f(x)在x=0处必须有一个极限L，而且L必须满足以下两个条件：

1. lim[x→0]f(x) = L

2. f(x)在x=0处可以通过修改或者定义来使之连续，并且这个修改或者定义后的函数在x=0处必须等于L。

因此，我们需要找到一个函数g(x)，使得g(x)在x=0处连续，且g(x)在x=0处等于lim[x→0]f(x)。然后，我们将f(x)与g(x)进行比较，找到它们在x=0处的差异，这个差异就是f(x)在x=0处的可去间断。

我们可以定义g(x)如下：

g(x) = [a-x/2+e^x+xln(1+x^2)+bsin(x)]/x^2

显然，g(x)在x=0处的极限等于a。此外，我们可以对g(x)在x=0处进行泰勒展开，得到：

g(x) = [a-x/2+1+x+bx+O(x^2)]/x^2

因此，g(x)在x=0处的函数值为：

g(0) = lim[x→0]g(x) = (a-1)/2

现在，我们可以将f(x)与g(x)进行比较，找到它们在x=0处的差异。显然，它们的差异来自于以下两个项：

xln(1+x^2) 和 (b+cosx)sinx

因此，我们需要让这两个项在x=0处的函数值为0，才能使f(x)在x=0处成为一个连续函数。解方程得到：

lim[x→0]xln(1+x^2) = 0

lim[x→0](b+cosx)sinx = 0

第一个方程的解为0，而第二个方程的解为b=0。

因此，a的值为f(x)在x=0处的极限，即：

a = lim[x→0]f(x) = lim[x→0][1/x^2][a-x/2+e^x+xln(1+x^2)+(b+cosx)sinx] = lim[x→0][1/x^2][a-x/2+e^x+xln(1+x^2)]

由于b=0，因此在计算极限时可以忽略(b+cosx)sinx这一项。因此，我们可以将f(x)化简为：

f(x) = [a-x/2+e^x+xln(1+x^2)]/x^2

然后，我们可以对f(x)在x=0处进行泰勒展开，得到：

f(x) = [a-1/2+1+x+O(x^2)]/x^2

因此，f(x)在x=0处的函数值为：

f(0) = lim[x→0]f(x) = (a-1)/2

因此，我们可以得到：

a-1 = 2f(0) = 2lim[x→0]f(x) = 2lim[x→0][1/x^2][a-x/2+e^x+xln(1+x^2)]

a-1 = 2a

a = 1

因此，a=1，b=0。

答案：a=1，b=0。