数塔dp -A 【问题描述】 在讲述DP算法的时候，一个经典的例子就是数塔问题，它是这样描述的： 有如下所示的数塔，要求从顶层走到底层，若每一步只能走到相邻的结点， 则经过的结点的数字之和最小是多少？

这是一个经典的动态规划问题。可以使用自底向上的方法进行求解。具体步骤如下：

1. 定义状态：设 $f(i,j)$ 表示第 $i$ 行第 $j$ 列的数到底部的最小路径和。

2. 状态转移方程：对于第 $i$ 行第 $j$ 列的数，它可以从下一行的 $f(i+1,j)$ 和 $f(i+1,j+1)$ 转移而来，即 $f(i,j) = a(i,j) + \min(f(i+1,j),f(i+1,j+1))$，其中 $a(i,j)$ 表示第 $i$ 行第 $j$ 列的数。

3. 初始状态：底部的每个数的最小路径和即为它本身的值，即 $f(n,j) = a(n,j)$。

4. 最终结果：$f(1,1)$ 即为从顶部到底部的最小路径和。

以下是具体的代码实现：

相关问题

举例一个动态规划之选数问题算法，给出问题描述，问题执行，c++代码

问题描述：给定一个长度为 n 的数组，要求从中选出若干个数，使得它们的和等于给定的目标值。假设所有数都是正整数，且每个数只能被选一次。请问是否存在这样的选数方案，若存在，输出任意一种方案。

问题执行：

1. 定义状态：设 dp[i][j] 表示在前 i 个数中选取若干个数，使得它们的和等于 j 的方案数。

2. 状态转移方程：对于第 i 个数，有两种选择：

- 不选它，此时 dp[i][j] = dp[i - 1][j]；
- 选它，此时 dp[i][j] = dp[i - 1][j - a[i]]；其中 a[i] 表示第 i 个数的值。

综上所述，状态转移方程为：

dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i - 1][j - a[i]]

3. 初始化：dp[0][0] = 1，dp[0][j] = 0（j ≠ 0），dp[i][0] = 1。

4. 最终结果：dp[n][target]，其中 n 表示数组的长度，target 表示目标值。

C++代码实现：

#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;

const int N = 1000;

int a[N];       // 数组
int dp[N][N];   // dp[i][j] 表示在前 i 个数中选取若干个数，使得它们的和等于 j 的方案数
vector<int> res;// 存储任意一种方案

int main()
{
    int n, target;
    cin >> n >> target;
    for (int i = 1; i <= n; i++)
        cin >> a[i];

    dp[0][0] = 1;
    for (int i = 1; i <= n; i++)
    {
        for (int j = 0; j <= target; j++)
        {
            if (j >= a[i])
                dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i - 1][j - a[i]];
            else
                dp[i][j] = dp[i - 1][j];
        }
    }

    if (dp[n][target] == 0)
        cout << "No solution!" << endl;
    else
    {
        // 求出任意一种方案
        int i = n, j = target;
        while (j > 0)
        {
            if (dp[i][j] == dp[i - 1][j])
                i--;
            else
            {
                res.push_back(a[i]);
                j -= a[i];
                i--;
            }
        }

        // 输出方案
        for (int i = res.size() - 1; i >= 0; i--)
            cout << res[i] << " ";
        cout << endl;
    }

    return 0;
}

动态规划算法求解数塔问题

动态规划是一种常用的算法思想，用于解决具有重叠子问题和最优子结构性质的问题。数塔问题是其中一个经典的应用场景。

数塔问题是指给定一个由数字组成的塔状结构，从塔的顶部出发，在每一层可以选择向左走或者向右走，一直走到塔的底部，要求找出一条路径，使得路径上经过的数字之和最大。

动态规划求解数塔问题的步骤如下：
1. 定义状态：设dp[i][j]表示从塔顶走到第i行第j列时的最大路径和。
2. 初始化状态：dp = tower，即塔顶的值。
3. 状态转移方程：对于每个位置(i, j)，有两个选择，向左走或者向右走。因此，状态转移方程为dp[i][j] = max(dp[i-1][j-1], dp[i-1][j]) + tower[i][j]，其中tower[i][j]表示第i行第j列的值。
4. 最优解：最终的最优解为max(dp[n-1], dp[n-1], ..., dp[n-1][m-1])，其中n为塔的行数，m为塔的列数。