继续计算两个时间序列间的soft dtw

在继续计算两个时间序列间的soft dtw之前，我们需要了解一些参数和概念：

- Gamma：soft dtw的调节参数，用于平衡dtw路径长度和路径惩罚项的权重。Gamma越小，路径长度对距离的影响越大，路径惩罚项的影响越小，软化程度越低；Gamma越大，路径长度对距离的影响越小，路径惩罚项的影响越大，软化程度越高。
- Sigma：Gaussian核函数的方差参数，用于计算距离矩阵。
- Delta：相邻时间步之间的时间跨度，用于计算距离矩阵。
- 贪心策略：定义了在计算dtw过程中路径的选择方式。有两种贪心策略可选：1）dtw1策略，即每次只能向右、向下或右下移动一步；2）dtw2策略，即每次可以向右、向下或右下移动多步，但是只能从上一行、左侧或左上方的格子中选择。

接下来，我们可以按以下步骤计算两个时间序列间的soft dtw：

1. 计算距离矩阵

我们可以使用Gaussian核函数计算两个时间序列间的距离矩阵。假设我们有两个时间序列X和Y，其长度分别为n和m。则距离矩阵可以表示为：

D(i,j) = ||X(i) - Y(j)||^2

其中，i和j分别表示时间序列X和Y中的时间步位置。

为了计算距离矩阵，我们需要设定核函数的方差参数sigma和相邻时间步的时间跨度delta。则Gaussian核函数可以表示为：

K(i,j) = exp(-D(i,j)/(2*sigma^2*delta^2))

其中，sigma和delta都是超参数。

2. 计算累计距离矩阵

根据dtw的定义，我们可以使用动态规划算法计算两个时间序列的累计距离矩阵。在soft dtw中，我们需要将计算过程中的硬约束条件替换成软约束条件，即路径惩罚项。假设我们有两个时间序列X和Y，以及距离矩阵D和Gamma作为输入，则累计距离矩阵可以使用以下公式计算：

s(i,j) = D(i,j) + Gamma * K(i-1,j-1) * s(i-1,j-1) + Gamma * K(i,j-1) * s(i,j-1) + Gamma * K(i-1,j) * s(i-1,j)

其中，s(i,j)表示从X(1)到X(i)和从Y(1)到Y(j)的最小路径累计距离，K(i,j)表示Gaussian核函数的值。

3. 计算路径

在soft dtw中，路径的选择方式取决于贪心策略的选择。在本例中，我们选择了dtw1策略。假设我们已经计算出累计距离矩阵s，则路径可以使用以下公式计算：

D_soft = s(n,m)

k = n+m-2
path = [(n,m)]

while k > 0:
i, j = path[-1]
if i == 1 and j > 1:
path.append((i, j-1))
elif i > 1 and j == 1:
path.append((i-1, j))
else:
prev = [(i-1, j-1), (i-1, j), (i, j-1)]
prev_s = [s[p[0], p[1]] for p in prev]
min_index = np.argmin(prev_s)
path.append(prev[min_index])
k -= 1

其中，D_soft表示soft dtw距离，path表示路径。

4. 计算梯度

为了进行梯度下降优化，我们需要计算soft dtw距离关于距离矩阵D的梯度。根据链式法则，我们可以将该梯度分解为以下两个部分：

- 距离矩阵D关于s(i,j)的梯度
- s(i,j)关于累计距离矩阵s的梯度

由于距离矩阵D是对称的，我们只需要计算上三角部分的梯度即可。根据soft dtw的定义和求导法则，上述两个部分的梯度可以表示为：

grad_D(i,j) = 2 * Gamma * (s(i-1,j-1) * K(i-1,j-1) + s(i,j-1) * K(i,j-1) + s(i-1,j) * K(i-1,j)) * (X(i) - Y(j))

grad_s(i,j) = Gamma * K(i,j) * (grad_D(i,j) + grad_s(i-1,j-1) + grad_s(i,j-1) + grad_s(i-1,j))

其中，grad_D(i,j)表示距离矩阵D关于s(i,j)的梯度，grad_s(i,j)表示s(i,j)关于累计距离矩阵s的梯度，grad_D和grad_s都是需要计算的梯度。

5. 进行梯度下降优化

最后，我们可以使用梯度下降算法优化距离矩阵D，以使得soft dtw距离更接近于真实距离。在每一次更新距离矩阵之前，我们需要重新计算累计距离矩阵和路径。

更新距离矩阵的公式如下：

D(i,j) -= learning_rate * grad_D(i,j)

其中，learning_rate是学习率，需要手动设定。

至此，我们完成了两个时间序列间的soft dtw计算，并得到了优化后的距离矩阵D。