折半查找法时间复杂度O(logn)如何推导出来

时间: 2023-12-10 08:32:47 浏览: 100

折半查找算法

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### 折半查找算法 #### 一、简介折半查找算法（Binary Search），也称为二分查找算法，是一种在有序数组中查找特定元素的高效算法。它的基本思想是在有序数组中通过比较中间元素与目标值来逐步缩小查找范围，直到找到目标值或查找范围为空为止。 #### 二、原理及步骤折半查找适用于静态查找表中的查找操作，其基本步骤如下： 1. **确定中间位置**：计算当前查找范围的中间位置，即 `(low + high) / 2`。 2. **比较中间元素**： - 如果中间元素正好等于目标值，则返回该位置。 - 如果中间元素小于目标值，则调整查找范围为右半部分（`low = mid + 1`）。 - 如果中间元素大于目标值，则调整查找范围为左半部分（`high = mid - 1`）。 3. **重复步骤**：不断重复上述过程，直到找到目标值或查找范围为空（`low > high`）。 #### 三、代码实现根据提供的代码示例，我们来详细解析折半查找的具体实现。 ##### 数据结构定义 ```c typedef struct { int key; } elemType; typedef struct { elemType *init; int length; } SSTable; ``` 这里定义了两个结构体类型： - `elemType`：用于存储表中的每个记录，其中只包含一个整型键值 `key`。 - `SSTable`：用于表示整个有序表，包括指向记录数组的指针 `init` 和表的长度 `length`。 ##### 创建有序表 ```c int createSTable(SSTable *t, int len) { // 分配内存并读取数据... } ``` 此函数用于创建一个有序表，首先分配足够的内存来存储 `len` 个 `elemType` 结构体，并从用户处读入这些结构体的数据。 ##### 折半查找函数 ```c int BinarySearch(SSTable *t, int key) { int low = 1, high = t->length, mid; while (low <= high) { mid = (low + high) / 2; if (t->init[mid].key == key) return mid; else if (t->init[mid].key < key) low = mid + 1; else high = mid - 1; } return -1; } ``` 这是折半查找的核心实现。函数接收一个有序表 `SSTable` 的指针和要查找的目标值 `key`，返回值为目标值在表中的位置索引，若未找到则返回 `-1`。 - 初始化 `low` 和 `high` 分别为查找范围的起始和结束位置。 - 使用 `while` 循环不断缩小查找范围，直至找到目标值或查找范围为空。 - 使用 `if-else` 语句判断目标值与中间元素的关系，并更新 `low` 或 `high` 的值。 - 若找到目标值，则返回对应的索引；否则返回 `-1` 表示未找到。 ##### 主函数 ```c int main(void) { int n, key; SSTable t; // 读取表长度，创建表，读取键值，进行查找... } ``` 主函数首先提示用户输入有序表的长度，并调用 `createSTable` 函数创建有序表。然后提示用户输入要查找的键值，并调用 `BinarySearch` 函数进行查找，最后输出查找结果。 #### 四、复杂度分析 - **时间复杂度**：在最坏情况下，每次查找都将查找范围减半，因此时间复杂度为 O(log n)。 - **空间复杂度**：由于采用了递归或迭代的方式实现，没有使用额外的空间，所以空间复杂度为 O(1)。 #### 五、应用场景折半查找适用于对已排序的数组或列表进行高效查找。常见的应用场景包括但不限于： - 在数据库索引中快速定位记录。 - 在大量数据集中快速检索特定信息。 - 在计算机科学的其他领域，如算法优化等。折半查找算法是一种高效的查找方法，在处理有序数据时具有显著的优势。

折半查找法的时间复杂度可以通过数学归纳法来推导。假设在一个长度为n的有序数组中查找一个元素，每次将查找范围缩小一半，直到找到目标元素或查找范围为空。假设第k次查找后，查找范围的长度为n/2^k，则最坏情况下，查找次数为k。由于每次查找都将查找范围缩小一半，所以有： n/2^k = 1 解得：k = log2n 因此，折半查找法的时间复杂度为O(logn)。

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折半查找法时间复杂度O(logn)如何推导出来

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