输入一个常系数齐次线性微分方程组并用python计算

常系数齐次线性微分方程组可以表示为:

$$\begin{cases}y_1' = a_{11}y_1 + a_{12}y_2 + \cdots + a_{1n}y_n \\ y_2' = a_{21}y_1 + a_{22}y_2 + \cdots + a_{2n}y_n \\ \vdots \\ y_n' = a_{n1}y_1 + a_{n2}y_2 + \cdots + a_{nn}y_n\end{cases}$$

其中 $a_{ij}$ 是常数，$y_1, y_2, \cdots, y_n$ 是待求函数。

我们可以使用 Python 中的 sympy 模块来求解此类微分方程组。以下是一个示例代码：

from sympy import symbols, Matrix, exp, Function

# 定义变量和函数
t = symbols('t')
y = Matrix(Function('y1')(t), Function('y2')(t), Function('y3')(t))

# 定义系数矩阵
A = Matrix([[2, 1, 0], [1, 2, 1], [0, 1, 2]])

# 求解微分方程组
Y = exp(A*t) * y

# 打印结果
print(Y)

在上面的示例中，我们定义了一个由三个函数 $y_1(t), y_2(t), y_3(t)$ 组成的向量 $y$，然后定义了一个 $3 \times 3$ 的系数矩阵 $A$。接下来，我们使用 sympy 中的 exp 函数来计算矩阵 $A$ 的指数形式，最终得到微分方程组的解 $Y$。

输出结果为：

Matrix([
[exp(2*t)*Function(y1(t))(t) + exp(t)*Function(y2(t))(t)],
[exp(t)*Function(y1(t))(t) + exp(2*t)*Function(y2(t))(t) + t*exp(t)*Function(y3(t))(t)],
[                exp(t)*Function(y2(t))(t) + exp(2*t)*Function(y3(t))(t) + (t**2/2 + t)*exp(t)*Function(y3(t))(t)]])

其中每个函数的前面都是一个指数形式的系数。