1. 求解带初值的微分方程：    dx dt + 2 100 + t x = 0.03, x(0) = 10.

这是一个一阶线性非齐次微分方程，可以使用常数变易法求解。

首先，将方程转化为标准形式：$\frac{dx}{dt}+p(t)x=q(t)$，其中$p(t)=\frac{1}{t+200}$，$q(t)=0.03$。

接下来，求出齐次方程的通解：$\frac{dx}{dt}+p(t)x=0$。这是一个一阶线性齐次微分方程，可以使用分离变量法求解。将方程改写为$\frac{dx}{x}=-p(t)dt$，然后两边同时积分得到$\ln|x|=-\ln|t+200|+C$，其中$C$为常数。解出$x$得到$x=C_1(t+200)^{-1}$，其中$C_1$为常数。

接下来，求出非齐次方程的一个特解。由于$q(t)$为常数，所以我们猜测一个常数解$x_0=a$，将其代入原方程得到$2a+0.03=0$，解得$a=-0.015$。因此，非齐次方程的一个特解为$x_0=-0.015$。

最后，将齐次方程的通解和非齐次方程的一个特解相加得到原方程的通解：$x=C_1(t+200)^{-1}-0.015$。

根据初值条件$x(0)=10$，代入通解得到$C_1=10.015$。因此，方程的解为$x=10.015(t+200)^{-1}-0.015$。

相关问题

3. 求解带初值的微分方程： dN dt = k(K − N)N, N(0) = N0.

这是一个经典的 Logistic 方程，可以使用分离变量法求解。

首先将方程化为标准形式：

dN/dt = k(N-K)N

将右边的 N-K 提取出来：

dN/dt = -k(N-K)(K-N)

将右边的 (K-N) 乘以 -1，得：

dN/dt = k(N-K)(N-K)

再将方程变形：

dN/(N-K)^2 = k dt

对两边同时积分，得：

∫dN/(N-K)^2 = ∫k dt

左边的积分可以用分式分解计算：

∫dN/(N-K)^2 = -1/(N-K) + C1

其中 C1 为常数。

右边的积分得：

∫k dt = kt + C2

其中 C2 为常数。

将 C1 和 C2 代入原方程的通解中，得：

-1/(N-K) + C1 = kt + C2

移项得：

N(t) = K + (N0-K)/(N0-K+e^(-kt)(K-N0))

其中 N0 = N(0) 是初始值。

这就是 Logistic 方程的解。该解描述了在资源有限的情况下，种群数量随时间的变化规律。随着时间的推移，种群数量会逐渐趋近于稳定值 K。

2．令 y = y ( x )，求解带初值的微分方程： |(1- x )/"=|√1+v2 y (0)=0, y (0)=0.

首先将微分方程化为标准形式：

dy/dx = √(1+v^2)/(1-x)

然后，我们可以使用分离变量法来解决这个微分方程：

∫1/√(1+v^2) dv = ∫dx/(1-x)

令 u = 1+v^2，那么 du/dv = 2v，所以 dv = du/2v

将此代入上式，得到：

1/2 ∫1/√u du = -ln|1-x|

√u = C -ln|1-x|

其中 C 是积分常数。现在，我们使用初始条件 y(0) = 0 来求解常数 C：

√1+C = -ln|1-0|

√1+C = -ln|1| = 0

因此，C = 0，我们得到：

√(1+v^2) = -ln|1-x|

解出 v：

v = √(e^(ln|1-x|)^2 - 1)

最后，我们使用初始条件 y(0) = 0 来解出 y(x)：

y(x) = ∫0^x √(1+v^2)/(1-t) dt

将 v 的表达式代入上式，进行积分计算即可。