已知定理P→Q,Q→R⺊P→R、⺊Q→Q、⺊(P→Q)→(﹁Q→﹁P),用公理方法证明﹁((Q→R)→R)⺊﹁Q
时间: 2024-05-23 19:13:43 浏览: 21
首先,假设 $\lnot((Q\to R)\to R)$ 成立。根据蕴含的性质,我们有:
$\lnot((Q\to R)\to R) \to \lnot R\to \lnot(Q\to R)$
由于 $\lnot(Q\to R)$ 等价于 $Q\land \lnot R$,因此我们有:
$\lnot((Q\to R)\to R) \to \lnot R\to (Q\land \lnot R)$
接下来,我们使用前提 $Q\to R$ 推导出 $R\to Q$:
$Q\to R \to R\to Q$
然后,我们可以使用前提 $P\to Q$ 和 $Q\to R$ 推导出 $P\to R$:
$P\to Q \to Q\to R \to P\to R$
由于 $\lnot(P\to Q)$ 等价于 $P\land \lnot Q$,因此我们有:
$\lnot(P\to Q) \to P\land \lnot Q$
接下来,我们使用前提 $\lnot(P\to Q)\to (\lnot Q\to \lnot P)$,将 $\lnot(P\to Q)$ 转化为 $\lnot Q\to \lnot P$:
$\lnot Q\to \lnot P \to P\land \lnot Q$
由于 $\lnot(Q\to Q)$ 等价于 $Q\land \lnot Q$,因此我们有:
$\lnot(Q\to Q) \to Q\land \lnot Q$
最后,我们将这些结果应用到 $\lnot((Q\to R)\to R)$ 上:
$\lnot((Q\to R)\to R) \to \lnot R\to (Q\land \lnot R)$
$\lnot(Q\to Q) \to Q\land \lnot Q$
$Q\to R \to R\to Q$
$P\to Q \to Q\to R \to P\to R$
$\lnot(P\to Q) \to P\land \lnot Q$
$\lnot(P\to Q)\to (\lnot Q\to \lnot P)$
因此,我们得到 $\lnot((Q\to R)\to R)\to \lnot Q$。这证明了 $\lnot((Q\to R)\to R)\to \lnot Q$。
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