扩展欧几里得算法求逆元
时间: 2023-07-22 14:41:24 浏览: 81
扩展欧几里得算法是一种求解ax + by = gcd(a, b)的方法,其中a, b为整数,x, y为整数解。如果a, b互质,那么gcd(a, b) = 1,此时方程ax + by = 1,因此x就是a的逆元。
具体求逆元的步骤如下:
1. 对于给定的a和模数m,使用扩展欧几里得算法求解ax + my = 1的一组整数解x, y。
2. 如果x < 0,则x = x + m是a在模m下的逆元。
3. 如果x >= 0,则x就是a在模m下的逆元。
下面是一个简单的Python代码实现:
```python
def ext_gcd(a, b):
if b == 0:
return a, 1, 0
else:
d, x, y = ext_gcd(b, a % b)
return d, y, x - (a // b) * y
def mod_inv(a, m):
d, x, y = ext_gcd(a, m)
if d == 1:
return (x + m) % m
else:
return None
```
其中,ext_gcd函数用于求解扩展欧几里得算法,mod_inv函数用于求解逆元。如果a在模m下无逆元,则返回None。
相关问题
扩展欧几里得算法求逆元算法java
扩展欧几里得算法是一种求解线性同余方程 ax ≡ 1 (mod m) 中 x 的逆元的方法。逆元是指数值 x 使得 ax 与 m 取模之后的结果为 1。
下面是一个用 Java 实现扩展欧几里得算法求逆元的代码示例:
```java
public class InverseElement {
public static int extendedEuclidean(int a, int b) {
int[] coeffs = new int[3]; // 存储扩展欧几里得算法求解的系数
int x = 0, y = 0;
while (b != 0) {
coeffs = updateCoeffs(a, b, coeffs);
a = coeffs[0];
b = coeffs[1];
x = coeffs[2];
y = coeffs[3];
}
if (a == 1) {
return (x % m + m) % m; // 防止结果为负数
} else {
return -1; // 没有逆元
}
}
private static int[] updateCoeffs(int a, int b, int[] coeffs) {
if (b == 0) {
coeffs[0] = a;
coeffs[1] = b;
coeffs[2] = 1;
coeffs[3] = 0;
return coeffs;
}
coeffs = updateCoeffs(b, a % b, coeffs);
int x1 = coeffs[2];
int y1 = coeffs[3];
coeffs[2] = y1;
coeffs[3] = x1 - (a / b) * y1;
return coeffs;
}
public static void main(String[] args) {
int a = 7;
int m = 11;
int inverse = extendedEuclidean(a, m);
System.out.println("逆元: " + inverse);
}
}
```
在上述代码中,`extendedEuclidean` 方法实现了扩展欧几里得算法, `updateCoeffs` 方法用于更新系数, `main` 方法用于测试求逆元的结果。在示例中,我们以 `a = 7` 和 `m = 11` 为例来求解逆元。
按照扩展欧几里得算法的步骤,我们递归调用 `updateCoeffs` 方法来更新系数,直到 b 为 0。然后,如果 a 为 1,则返回取模后的 x 值作为逆元;否则,返回 -1 表示没有逆元。
输出结果为:逆元:8,表示在模 11 下,7 的逆元为 8。
扩展欧几里得算法求逆元python
下面是一个用Python实现的扩展欧几里得算法求逆元的示例代码:
```python
def exgcd(a, b):
if b == 0:
return a, 1, 0
else:
gcd, x, y = exgcd(b, a % b)
return gcd, y, x - (a // b) * y
def mod_inv(a, m):
gcd, x, y = exgcd(a, m)
if gcd != 1:
return None # 逆元不存在
else:
return (x % m + m) % m # 返回正整数范围内的逆元
```
其中,`exgcd(a, b)`函数为扩展欧几里得算法的实现,返回值为`(gcd, x, y)`,其中`gcd`为`a`和`b`的最大公约数,`x`和`y`满足`ax + by = gcd`的一组解。`mod_inv(a, m)`函数为求`a`在模`m`意义下的逆元,当逆元不存在时返回`None`。
示例:
```python
print(mod_inv(3, 11)) # 输出 4,因为 3 * 4 ≡ 1 (mod 11)
print(mod_inv(4, 8)) # 输出 None,因为 4 在模 8 意义下没有逆元
```