需要求解y1，y2，y3. 已知方程： z1=y1 / ( y1 + y2 + y3 )； z2=y2 / ( y1 + y2 + y3 ) ；z3=y3 / ( y1 + y2 + y3 )； 假设 z1、z2、z3是已知值，y1，y2，y3，z1，z2，z3均是大于零的正值。且z1 + z2 + z3 =1。请列举C++实现代码

以下是一个简单的 C++ 实现代码，用于求解 y1、y2、y3：

#include <iostream>
using namespace std;

int main() {
    double z1, z2, z3, y1, y2, y3;
    cout << "请输入 z1、z2、z3 的值：" << endl;
    cin >> z1 >> z2 >> z3;
    double sum = z1 + z2 + z3;
    if (sum == 0) {
        cout << "z1 + z2 + z3 的值不能为 0！" << endl;
        return 0;
    }
    y1 = z1 / sum * (y1 + y2 + y3);
    y2 = z2 / sum * (y1 + y2 + y3);
    y3 = z3 / sum * (y1 + y2 + y3);
    cout << "y1 = " << y1 << endl;
    cout << "y2 = " << y2 << endl;
    cout << "y3 = " << y3 << endl;
    return 0;
}

这个程序首先读入 z1、z2、z3 的值，然后计算它们的和。如果和为 0，则输出错误信息；否则，根据公式计算 y1、y2、y3 的值，并输出结果。

相关问题

z1=y1/(y1+y2+y3) z2=y2/(y1+y2+y3) z3=y3/(y1+y2+y3) 已知z1和z2和z3， 且上述方程已知数和未知数均是大于0的正值，求y1，y2，y3。 请问，怎么在C++代码用牛顿迭代法实现求解？

可以使用牛顿迭代法进行求解，步骤如下：

1. 定义目标函数f(y1, y2, y3) = [z1 - y1/(y1+y2+y3)]^2 + [z2 - y2/(y1+y2+y3)]^2 + [z3 - y3/(y1+y2+y3)]^2，目标是使得f(y1, y2, y3)最小。
2. 求解f(y1, y2, y3)的梯度向量g(y1, y2, y3)，以及Hessian矩阵H(y1, y2, y3)。
3. 初始化y1, y2, y3为任意正数，然后进行迭代。在每次迭代中，计算g(y1, y2, y3)和H(y1, y2, y3)，然后计算方程H(y1, y2, y3) * delta = -g(y1, y2, y3)的解delta，更新y1, y2, y3为y1+delta[0], y2+delta[1], y3+delta[2]。
4. 重复第3步，直到f(y1, y2, y3)收敛到足够小的值。

以下是使用牛顿迭代法求解的示例代码：

#include <iostream>
#include <cmath>

using namespace std;

double f(double y1, double y2, double y3, double z1, double z2, double z3) {
    double denom = y1 + y2 + y3;
    double f1 = z1 - y1 / denom;
    double f2 = z2 - y2 / denom;
    double f3 = z3 - y3 / denom;
    return f1 * f1 + f2 * f2 + f3 * f3;
}

void g(double y1, double y2, double y3, double z1, double z2, double z3, double& g1, double& g2, double& g3) {
    double denom = y1 + y2 + y3;
    g1 = -2 * (z1 - y1 / denom) / denom + 2 * y1 / (denom * denom);
    g2 = -2 * (z2 - y2 / denom) / denom + 2 * y2 / (denom * denom);
    g3 = -2 * (z3 - y3 / denom) / denom + 2 * y3 / (denom * denom);
}

void H(double y1, double y2, double y3, double z1, double z2, double z3, double& h11, double& h12, double& h13,
    double& h21, double& h22, double& h23, double& h31, double& h32, double& h33) {
    double denom = y1 + y2 + y3;
    double denom2 = denom * denom;
    h11 = 2 * (2 * y1 * y1 - 2 * z1 * y1 + y2 * y2 + y3 * y3) / (denom2 * denom) - 2 * y1 * y1 / (denom2 * denom2);
    h12 = 2 * y1 * y2 / (denom2 * denom) - 2 * y1 * y2 / (denom2 * denom2);
    h13 = 2 * y1 * y3 / (denom2 * denom) - 2 * y1 * y3 / (denom2 * denom2);
    h21 = h12;
    h22 = 2 * (y1 * y1 + 2 * y2 * y2 - 2 * z2 * y2 + y3 * y3) / (denom2 * denom) - 2 * y2 * y2 / (denom2 * denom2);
    h23 = 2 * y2 * y3 / (denom2 * denom) - 2 * y2 * y3 / (denom2 * denom2);
    h31 = h13;
    h32 = h23;
    h33 = 2 * (y1 * y1 + y2 * y2 + 2 * y3 * y3 - 2 * z3 * y3) / (denom2 * denom) - 2 * y3 * y3 / (denom2 * denom2);
}

int main() {
    double z1 = 0.3;
    double z2 = 0.4;
    double z3 = 0.3;

    double y1 = 1.0;
    double y2 = 1.0;
    double y3 = 1.0;

    double eps = 1e-6;
    int max_iter = 1000;
    int iter = 0;

    double g1, g2, g3, h11, h12, h13, h21, h22, h23, h31, h32, h33;
    double delta1, delta2, delta3;

    do {
        g(y1, y2, y3, z1, z2, z3, g1, g2, g3);
        H(y1, y2, y3, z1, z2, z3, h11, h12, h13, h21, h22, h23, h31, h32, h33);

        double det = h11 * h22 * h33 + h12 * h23 * h31 + h21 * h32 * h13
            - h13 * h22 * h31 - h12 * h21 * h33 - h11 * h23 * h32;

        delta1 = (-h23 * h32 * g1 + h22 * h33 * g2 - h22 * h33 * g3) / det;
        delta2 = (h13 * h32 * g1 - h12 * h33 * g2 + h12 * h33 * g3) / det;
        delta3 = (-h13 * h22 * g1 + h12 * h23 * g2 - h12 * h23 * g3) / det;

        y1 += delta1;
        y2 += delta2;
        y3 += delta3;

        iter++;
    } while (iter < max_iter && sqrt(g1 * g1 + g2 * g2 + g3 * g3) > eps);

    std::cout << "y1 = " << y1 << std::endl;
    std::cout << "y2 = " << y2 << std::endl;
    std::cout << "y3 = " << y3 << std::endl;

    return 0;
}

在每次迭代中，使用g(y1, y2, y3, z1, z2, z3, g1, g2, g3)计算梯度向量g(y1, y2, y3)，使用H(y1, y2, y3, z1, z2, z3, h11, h12, h13, h21, h22, h23, h31, h32, h33)计算Hessian矩阵H(y1, y2, y3)。然后使用牛顿迭代公式delta = -H^{-1}g更新y1, y2, y3的值。重复这个过程，直到收敛到足够小的值。

假设已知方程y1 = z1 * (y1 + y2 + y3); y2 = z2 * (y1 + y2 + y3); y3 = z3 * (y1 + y2 + y3)，但是z1,z2,z3仅保留小数点后3位，如何反推出y1,y2,y3的最优解？请用C++代码实现

以下是使用迭代法求解方程组的C++代码实现：

#include <iostream>
#include <cmath>

using namespace std;

const double eps = 1e-6; // 收敛阈值

double z1 = 0.123;
double z2 = 0.234;
double z3 = 0.345;

double y1 = 1.0; // 初始化y1,y2,y3的值
double y2 = 2.0;
double y3 = 3.0;

double calc_z1(double y1, double y2, double y3)
{
    return round(z1 * (y1 + y2 + y3) * 1000) / 1000; // 保留小数点后3位
}

double calc_z2(double y1, double y2, double y3)
{
    return round(z2 * (y1 + y2 + y3) * 1000) / 1000; // 保留小数点后3位
}

double calc_z3(double y1, double y2, double y3)
{
    return round(z3 * (y1 + y2 + y3) * 1000) / 1000; // 保留小数点后3位
}

int main()
{
    double y1_new, y2_new, y3_new;
    int iter = 0;
    do {
        y1_new = calc_z1(y1, y2, y3) / (1 - z1);
        y2_new = calc_z2(y1, y2, y3) / (1 - z2);
        y3_new = calc_z3(y1, y2, y3) / (1 - z3);
        double err = max(abs(y1_new - y1), max(abs(y2_new - y2), abs(y3_new - y3)));
        y1 = y1_new;
        y2 = y2_new;
        y3 = y3_new;
        iter++;
    } while (err > eps && iter < 1000);

    cout << "y1 = " << y1 << endl;
    cout << "y2 = " << y2 << endl;
    cout << "y3 = " << y3 << endl;

    return 0;
}

注意，这里使用了`round`函数来保留小数点后3位，同时迭代次数不宜过多，避免死循环。