、假设某电文由（a，b，c，d，e，f，g，h）8个字母组成，每个字母在电文中出现的次数分别为（7,19,2,6，32,3,21，10），请（1）画出哈夫曼树；（2）写出每个字母的哈夫曼编码；（3）求出该电文的编码至少有多少位。

1. 画出哈夫曼树：

            [115]
           /    \
        [101]   [103]
         /  \     /   \
       [101] [102] [101] [2]
        /     \       /    \
     [97]    [116] [104]  [110]
     /  \      /  \
   [97] [97] [108] [101]

2. 写出每个字母的哈夫曼编码：

a: 1010
b: 100
c: 101111
d: 11010
e: 0
f: 101110
g: 111
h: 1100

3. 求出该电文的编码至少有多少位：

将每个字母的出现次数与对应的哈夫曼编码相乘，再将结果相加，即可得到该电文的编码至少有多少位：

7*4 + 19*3 + 2*6 + 6*5 + 32*1 + 3*6 + 21*3 + 10*4 = 256

因此，该电文的编码至少有256位。

相关问题

假设某电文由（a，b，c，d，e，f，g，h）8个字母组成，每个字母在电文中出现的次数分别为（7,19,2,6，32,3,21，10），请（1）画出哈夫曼树；（2）写出每个字母的哈夫曼编码；（3）求出该电文的编码至少有多少位

(1) 先将这 8 个字母按照出现次数从小到大排序，得到的顺序为 (c, f, a, d, h, b, g, e)。然后构建哈夫曼树，过程如下图所示：


(2) 根据哈夫曼树，我们可以得到每个字母的哈夫曼编码，如下表所示：

| 字母 | 出现次数 | 哈夫曼编码 |
| :-: | :------: | :--------: |
| c | 2 | 1111 |
| f | 3 | 1110 |
| a | 7 | 110 |
| d | 6 | 101 |
| h | 10 | 100 |
| b | 19 | 01 |
| g | 21 | 001 |
| e | 32 | 000 |

(3) 该电文的编码至少需要多少位？我们可以根据每个字母的出现次数和对应的哈夫曼编码计算得出。假设电文中共有 $n$ 个字母，则电文的编码长度为：

$$
\begin{aligned}
L &= \sum_{i=1}^n l_i \\
&= 7 \times 3 + 19 \times 2 + 2 \times 4 + 6 \times 3 + 32 \times 3 + 3 \times 4 + 21 \times 3 + 10 \times 3 \\
&= 215
\end{aligned}
$$

因此，该电文的编码至少需要 215 位。

c++ 假设用于通信的电文仅由a，b，c，d，e，f，g，h等8个字母组成，字母在电文中出现的频率分别为0.07，0.19，0.02，0.06，0.32，0.03，0.21，0.10。试为这8个字母设计哈夫曼编码。

哈夫曼编码是一种基于频率的变长前缀编码，常用于压缩数据。对于这个问题，我们需要按照字母出现的频率构建一颗哈夫曼树，然后给每个字母分配一个最短的二进制编码。以下是创建哈夫曼树并计算编码的过程：

1. **创建频率列表**：首先，将字母及其频率存储在一个结构体数组里，如`pair<char, double>`。

#include <string>
#include <vector>
#include <queue>
#include <map>

std::vector<std::pair<char, double>> freqs = {
    {'a', 0.07}, {'b', 0.19}, {'c', 0.02}, {'d', 0.06},
    {'e', 0.32}, {'f', 0.03}, {'g', 0.21}, {'h', 0.10}
};

2. **构建哈夫曼树**：
- 创建一个优先队列存放成对的节点（频率+字符），初始时放入所有频率对应的节点。
- 选取频率最低的两对节点合并成新的节点，新节点的频率为其子节点频率之和，并将它们排序回队列。
- 重复此过程直到只剩下一个节点，即为哈夫曼树的根节点。

std::priority_queue<std::pair<double, std::pair<char, char>>> huffmanQueue(freqs.begin(), freqs.end());
while (huffmanQueue.size() > 1) {
    auto nodeA = huffmanQueue.top(); huffmanQueue.pop();
    auto nodeB = huffmanQueue.top(); huffmanQueue.pop();
    huffmanQueue.push({nodeA.first + nodeB.first, {nodeA.second.first, nodeB.second.first}});
    huffmanQueue.push({nodeA.first + nodeB.first, {nodeA.second.second, nodeB.second.second}});
    huffmanQueue.sort();
}

auto huffmanRoot = huffmanQueue.top().second; // 根节点

3. **确定编码**：
- 从根节点出发，沿着路径记录下遇到的所有'0'和'1'，直到到达叶节点。这个路径就是该字母的哈夫曼编码。

std::map<char, std::string> huffmanCodes;
void buildHuffmanCode(BiTreeNode* node, std::string code, std::map<char, std::string>& codes) {
    if (!node->left && !node->right) { // 叶节点，添加到映射中
        huffmanCodes[node->data] = code;
    } else {
        buildHuffmanCode(node->left, code + "0", codes);
        buildHuffmanCode(node->right, code + "1", codes);
    }
}

buildHuffmanCode(huffmanRoot, "", huffmanCodes);

现在，`huffmanCodes`中包含了每个字母及其对应的哈夫曼编码。例如，'e'可能是最常见的字母，所以它的编码可能是最短的。