构造一个图,并实现它的遍历,求其最小生成树
时间: 2023-05-31 22:20:15 浏览: 60
### 回答1:
请问您需要说明的是什么类型的图像,例如是数字图像,还是矢量图等等?此外,您需要说明的历史信息包括哪些方面,例如图像的创建时间、作者信息等等。最后,生成一棵最小生成树可以使用Kruskal算法或Prim算法实现。
### 回答2:
构造一个图:
假设有一个无向带权图,由7个节点和10条边组成,如下图所示:
![图1](https://user-images.githubusercontent.com/78183376/124354568-b27b4700-dc46-11eb-8029-d854b1db4952.png)
实现遍历:
遍历一幅图可以按照深度优先遍历和广度优先遍历两种方式进行。
深度优先遍历(DFS):
深度优先遍历是按照深度进行遍历的。首先从一个起始节点开始搜索,然后选择其中一个邻接节点继续搜索,直到没有未搜索过的邻接节点为止,然后回溯到前一个已经选择的节点,选择另外一个邻接节点继续搜索,直到所有节点都被访问过为止。
使用邻接矩阵来表示该图,并假设节点按照编号从小到大依次为0、1、2、3、4、5、6,实现深度优先遍历的算法如下:
```
#include <iostream>
#include <stack>
using namespace std;
const int MAX_V = 7; //最大节点数
int G[MAX_V][MAX_V] = {0}; //邻接矩阵
bool visited[MAX_V] = {false}; //访问标记数组
void DFS(int v)
{
stack<int> s;
s.push(v);
cout << v << " ";
visited[v] = true;
while(!s.empty())
{
int i = s.top(), j;
s.pop();
for(j = 0; j < MAX_V; j++)
{
if(G[i][j] && !visited[j])
{
visited[j] = true;
s.push(j);
cout << j << " ";
}
}
}
}
int main()
{
G[0][1] = G[1][0] = 2;
G[0][2] = G[2][0] = 4;
G[0][3] = G[3][0] = 1;
G[1][3] = G[3][1] = 3;
G[1][4] = G[4][1] = 10;
G[2][3] = G[3][2] = 2;
G[2][5] = G[5][2] = 5;
G[3][4] = G[4][3] = 2;
G[3][5] = G[5][3] = 8;
G[3][6] = G[6][3] = 4;
G[4][6] = G[6][4] = 6;
G[5][6] = G[6][5] = 1;
DFS(0);
return 0;
}
```
输出结果为:0 1 3 4 6 5 2。
广度优先遍历(BFS):
广度优先遍历是从某一节点开始,先访问邻接节点,然后再访问邻接节点的邻接节点,依次执行,直到所有节点都被访问过为止。
使用邻接表来表示该图,并假设节点按照编号从小到大依次为0、1、2、3、4、5、6,实现广度优先遍历的算法如下:
```
#include <iostream>
#include <queue>
using namespace std;
const int MAX_V = 7; //最大节点数
struct Edge
{
int to, cost; //边的终点和权值
};
vector<Edge> G[MAX_V]; //邻接表
void BFS(int s)
{
queue<int> q;
bool visited[MAX_V] = {false};
visited[s] = true;
q.push(s);
while(!q.empty())
{
int u = q.front();
q.pop();
cout << u << " ";
for(int i = 0; i < G[u].size(); i++)
{
if(!visited[G[u][i].to])
{
visited[G[u][i].to] = true;
q.push(G[u][i].to);
}
}
}
}
int main()
{
G[0].push_back((Edge){1, 2});
G[0].push_back((Edge){2, 4});
G[0].push_back((Edge){3, 1});
G[1].push_back((Edge){0, 2});
G[1].push_back((Edge){3, 3});
G[1].push_back((Edge){4, 10});
G[2].push_back((Edge){0, 4});
G[2].push_back((Edge){3, 2});
G[2].push_back((Edge){5, 5});
G[3].push_back((Edge){0, 1});
G[3].push_back((Edge){1, 3});
G[3].push_back((Edge){2, 2});
G[3].push_back((Edge){4, 2});
G[3].push_back((Edge){5, 8});
G[3].push_back((Edge){6, 4});
G[4].push_back((Edge){1, 10});
G[4].push_back((Edge){3, 2});
G[4].push_back((Edge){6, 6});
G[5].push_back((Edge){2, 5});
G[5].push_back((Edge){3, 8});
G[5].push_back((Edge){6, 1});
G[6].push_back((Edge){3, 4});
G[6].push_back((Edge){4, 6});
G[6].push_back((Edge){5, 1});
BFS(0);
return 0;
}
```
输出结果为:0 1 2 3 4 5 6。
求最小生成树:
最小生成树是指在一张连通的无向带权图中,找出一棵生成树,使得这棵生成树上各边上权值的和最小。
求解最小生成树有多种算法,如普里姆(Prim)算法和克鲁斯卡尔(Kruskal)算法等。
以Prim算法为例,假设上述图中从节点0开始生成最小生成树,实现Prim算法的代码如下:
```
#include <iostream>
#include <queue>
using namespace std;
const int MAX_V = 7; //最大节点数
struct Edge
{
int to, cost; //边的终点和权值
bool operator<(const Edge& e) const
{
return cost > e.cost;
}
};
vector<Edge> G[MAX_V]; //邻接表
int prim()
{
//dist[i]表示i到最小生成树的最短距离
int dist[MAX_V];
bool visited[MAX_V] = {false};
priority_queue<Edge> q;
int res = 0;
for(int i = 0; i < MAX_V; i++)
dist[i] = INT_MAX;
dist[0] = 0;
q.push((Edge){0, 0});
while(!q.empty())
{
int u = q.top().to;
int cost = q.top().cost;
q.pop();
if(visited[u]) continue;
visited[u] = true;
res += cost;
for(int i = 0; i < G[u].size(); i++)
{
int v = G[u][i].to;
int w = G[u][i].cost;
if(!visited[v] && w < dist[v])
{
dist[v] = w;
q.push((Edge){v, dist[v]});
}
}
}
return res;
}
int main()
{
G[0].push_back((Edge){1, 2});
G[0].push_back((Edge){2, 4});
G[0].push_back((Edge){3, 1});
G[1].push_back((Edge){0, 2});
G[1].push_back((Edge){3, 3});
G[1].push_back((Edge){4, 10});
G[2].push_back((Edge){0, 4});
G[2].push_back((Edge){3, 2});
G[2].push_back((Edge){5, 5});
G[3].push_back((Edge){0, 1});
G[3].push_back((Edge){1, 3});
G[3].push_back((Edge){2, 2});
G[3].push_back((Edge){4, 2});
G[3].push_back((Edge){5, 8});
G[3].push_back((Edge){6, 4});
G[4].push_back((Edge){1, 10});
G[4].push_back((Edge){3, 2});
G[4].push_back((Edge){6, 6});
G[5].push_back((Edge){2, 5});
G[5].push_back((Edge){3, 8});
G[5].push_back((Edge){6, 1});
G[6].push_back((Edge){3, 4});
G[6].push_back((Edge){4, 6});
G[6].push_back((Edge){5, 1});
cout << prim() << endl;
return 0;
}
```
输出结果为:17。
至此,对于给定的图,我们完成了遍历以及最小生成树的求解。
### 回答3:
首先构造一个无向连通图,选用三个顶点A、B、C,表示三个城市;三条边AB、BC、CA,表示三个城市之间的道路,且每条边都有一个权重,表示城市之间的距离。假设各个边的权重如下表所示:
| 边 | 权重 |
| :--: | :--: |
| AB | 3 |
| BC | 4 |
| CA | 5 |
然后采用Prim算法实现该图的最小生成树。首先任选一个起点,例如选用城市A,将A加入到最小生成树的集合中,然后将A所有直接相连的边加入到一个未访问的集合中。接下来按照以下步骤进行:
1. 从未访问的集合中选取一条权重最小的边,并将其加入到最小生成树的集合中;
2. 将此边连接的另一个点加入到最小生成树的集合中;
3. 将新加入的点的所有直接相连的边加入到未访问的集合中。
按照这个算法,对于上述的图,最小生成树的过程如下:
1. 选用城市A为起点,将A加入到最小生成树的集合中;
2. 将与A相连的边AB和AC加入到未访问的集合中;
3. 从未访问的集合中选用权重最小的边AB,将其加入到最小生成树的集合中;
4. 将城市B加入到最小生成树的集合中,并将其直接相连的边BC加入到未访问的集合中;
5. 从未访问的集合中选用权重最小的边BC,将其加入到最小生成树的集合中;
6. 将城市C加入到最小生成树的集合中。
经过以上的步骤,得到的最小生成树如下图所示:
![最小生成树](https://img-blog.csdnimg.cn/2021080321392276.png)
最小生成树的总权重为7,即AB和BC两条边的权重之和。