头歌的逻辑回归算法的第1关：逻辑回归算法详解的答案

逻辑回归算法详解：

逻辑回归是一种常见的分类算法，主要用于二分类问题。逻辑回归的目标是通过寻找最佳拟合参数来最大化对数似然函数，从而得到最优的分类决策边界。

在逻辑回归中，定义一个sigmoid函数将线性回归结果映射到[0,1]区间内，从而得到分类结果。sigmoid函数的公式为：

$$h_{\theta}(x) = \frac{1}{1 + e^{-\theta^Tx}}$$

其中，$\theta$是模型的参数，$x$是输入的特征向量。对于一个训练样本$(x^{(i)}, y^{(i)})$，逻辑回归的损失函数可以定义为：

$$J(\theta) = -\frac{1}{m}\sum_{i=1}^{m}[y^{(i)}\log(h_{\theta}(x^{(i)})) + (1-y^{(i)})\log(1-h_{\theta}(x^{(i)}))]$$

其中，$m$是训练样本的数量，$y^{(i)}$是样本的真实标签。最小化这个损失函数可以使用梯度下降算法来求解最优的参数$\theta$。梯度下降的更新公式为：

$$\theta_j = \theta_j - \alpha\frac{\partial J(\theta)}{\partial \theta_j}$$

其中，$\alpha$是学习率，$\frac{\partial J(\theta)}{\partial \theta_j}$是损失函数对参数$\theta_j$的偏导数。

通过不断迭代更新参数$\theta$，最终得到最优的分类决策边界。