已知三个连续信号, ( ) ( ) 1 x t u t , ( ) ( ) 2 x t t , ( ) ( ) ( 4) x3 t u t u t 。
时间: 2024-05-25 10:10:18 浏览: 56
首先,我们可以回忆一下连续信号的卷积运算,即 $y(t) = (x*h)(t) = \int_{-\infty}^{\infty} x(\tau)h(t-\tau)d\tau$,其中 $h(t)$ 是卷积核函数。
对于第一个信号 $u(t)$ 和第二个信号 $\delta(t)$,它们的卷积结果为:
$$(u * \delta)(t) = \int_{-\infty}^{\infty} u(\tau)\delta(t-\tau)d\tau = u(t)$$
因为 $\delta(t)$ 在 $t=0$ 处取值为无穷大,但在其他地方都为 $0$,所以 $\delta(t-\tau)$ 在 $\tau = t$ 处取值为无穷大,但在其他地方都为 $0$。因此,只有当 $\tau = t$ 时,$u(\tau)\delta(t-\tau)$ 的积分不为 $0$,即 $u(t)$。
对于第三个信号 $u(t)-u(t-1)$ 和第一个信号 $u(t)$,我们可以将其看作是一个阶跃函数 $u(t)$ 减去另一个阶跃函数 $u(t-1)$,即在 $t=1$ 处有一个跃变。
那么,它们的卷积结果为:
\begin{aligned} &(u * (u-u_1))(t) \\ =& \int_{-\infty}^{\infty} u(\tau)(u(t-\tau)-u(t-\tau-1))d\tau \\ =& \int_{-\infty}^{t} u(\tau)(u(t-\tau)-u(t-\tau-1))d\tau \\ =& \int_{0}^{t} (u(\tau)-u(\tau-1))u(t-\tau)d\tau \\ =& \begin{cases} 0, & t<0 \\ t, & 0\leq t<1 \\ 1, & t\geq 1 \end{cases} \end{aligned}
其中,第二个等式是因为当 $\tau > t$ 时,$u(t-\tau) = 0$,第三个等式是因为将积分区间缩小到 $[0,t]$,并将 $u(t-\tau-1)$ 拆成 $u(t-\tau)-u(t-\tau-1)$,第四个等式是将 $u(\tau)-u(\tau-1)$ 写成阶跃函数形式。
所以,卷积结果为:
$$(u * (u-u_1))(t) = \begin{cases} 0, & t<0 \\ t, & 0\leq t<1 \\ 1, & t\geq 1 \end{cases}$$