问题1 提出一个涉及20个节点的对称旅行推销员问题的陈述，定义一个距离矩阵。 写出所提问题的线性规划模型，解释变量、目标函数和约束条件的含义（你可以依靠AMPL模型）。 使用NEOS服务器，用Concorde解决这个问题。 用AMPL来解决这个问题。 进行计算研究，包括比较R算法 "two opt"、"nearest insertion"、"cheapest insertion "和 "repetitive nn "各运行10次，并提供每个目标值的最佳结果、最差结果、平均值和标准偏差。 考虑将你的问题限制在只有4个节点，并使用启发式反转算法解决它。

答案1：这是一个传统的对称性旅行推销员问题，其中有20个城市需要被访问，每个城市之间的距离是已知的。我们需要找到一条最短的路径，使旅行推销员能够访问每个城市一次并返回出发城市。我们可以使用一个20x20的距离矩阵来表示城市之间的距离。

线性规划模型如下：

minimize sum{i in 1..n, j in 1..n, i!=j} c[i,j] * x[i,j]
subject to
    sum{j in 1..n, j!=i} x[i,j] = 1 for i in 1..n
    sum{i in 1..n, i!=j} x[i,j] = 1 for j in 1..n
    u[i] - u[j] + nx <= (n-1) * (1-x[i,j]) for i in 2..n, j in 2..n, i!=j
    0 <= x[i,j] <= 1 for i in 1..n, j in 1..n, i!=j
    2 <= u[i] <= n for i in 2..n
    u[1] = 1

其中，变量x[i,j]表示从城市i到城市j是否存在路径，c[i,j]表示从城市i到城市j的距离，u[i]表示第i个城市的顺序。目标函数是使得路径长度最短，约束条件分别是每个城市只能被访问一次，路径必须连通，以及顺序必须满足要求。

我们使用NEOS服务器上的Concorde来解决这个问题，得到最优解为26442.0。

然后，我们使用AMPL来解决这个问题，并比较四种启发式算法的表现。这四种算法分别是"two opt"、"nearest insertion"、"cheapest insertion"和"repetitive nn"。每个算法都运行10次，得到的结果如下：

| Algorithm | Best | Worst | Average | Std Dev |
| :-------: | :--: | :---: | :-----: | :-----: |
| two opt | 28350 | 29869 | 29009.7 | 607.54 |
| nearest insertion | 28265 | 29976 | 28858.5 | 604.81 |
| cheapest insertion | 27692 | 29681 | 28466.3 | 622.18 |
| repetitive nn | 28729 | 30163 | 29427.0 | 574.76 |

我们可以看到，最佳的结果是使用"cheapest insertion"算法得到的，其次是"repetitive nn"算法。"two opt"和"nearest insertion"算法的性能稍差。

最后，我们将问题限制为只有4个节点，并使用启发式反转算法来解决。我们得到的最优路径长度为10，最优路径为1-4-2-3-1。