简述最大团问题的分支界限算法求解步骤，分析该算法的时间复杂度并给出一 个具体的算例

最大团问题是指在一个无向图中找到一个最大的完全子图，即该子图中任意两个节点之间都有边相连。分支界限算法是一种常用于求解最大团问题的方法，其求解步骤如下：

1. 初始化。将图中所有节点标记为未被访问过的状态，将目前已经找到的最大团大小 $max\_clique$ 置为 $0$。

2. 选择一个未被访问过的节点 $v$，并将其标记为已访问。

3. 将 $v$ 加入当前候选团 $Q$ 中，并计算 $Q$ 的最大团大小 $clique\_size$。

4. 如果 $clique\_size > max\_clique$，则更新 $max\_clique$。

5. 对于 $v$ 的每个未被访问过的邻居 $w$，将其加入 $Q$ 中，并计算新的 $clique\_size$。如果 $clique\_size$ 已经小于等于 $max\_clique$，则不需要继续下去，因为添加 $w$ 不可能找到更大的团。

6. 根据 $Q$ 中节点的顺序进行分支。对于 $Q$ 中的第一个节点 $u$，如果 $u$ 的邻居中包含 $Q$ 中的其他节点，则将 $u$ 的邻居中不在 $Q$ 中的节点加入 $Q$ 中，并计算新的 $clique\_size$。如果 $clique\_size$ 已经小于等于 $max\_clique$，则剪枝。

7. 对于 $Q$ 中的其他节点，按照 6 中所述的方式进行分支和剪枝。

8. 如果 $Q$ 中没有节点可以再被加入，算法结束，返回 $max\_clique$。

该算法的时间复杂度取决于分支过程中的搜索深度和每个节点的邻居数量。在最坏情况下，即图为一个完全图时，时间复杂度为 $O(2^n)$，其中 $n$ 表示节点数量。但由于算法中采用了优化措施，如节点排序和剪枝等，因此实际运行时间可能会更短。

以下是一个具体的算例：

考虑如下无向图：

1 -- 2 -- 3
|         |
4 -- 5 -- 6

我们使用分支界限算法求解该图的最大团。

1. 初始化。将所有节点标记为未被访问过的状态，将 $max\_clique$ 置为 $0$。

2. 选择 $1$ 号节点，并将其标记为已访问。

3. 将 $1$ 号节点加入当前候选团 $Q$ 中，并计算 $Q$ 的最大团大小为 $1$。

4. 更新 $max\_clique$ 为 $1$。

5. 将 $2$ 号节点加入 $Q$ 中，此时 $Q$ 中的节点为 $1, 2$，并计算 $Q$ 的最大团大小为 $2$。由于 $2$ 号节点的邻居中只有 $1$ 号节点未被访问过，因此将 $1$ 号节点加入 $Q$ 中，并计算新的 $Q$ 的最大团大小为 $2$。

6. 根据 $Q$ 中节点的顺序进行分支。首先对 $1$ 号节点进行分支，将 $3$ 号节点加入 $Q$ 中，此时 $Q$ 中的节点为 $1, 2, 3$，并计算 $Q$ 的最大团大小为 $3$。由于 $3$ 号节点的邻居中只有 $2$ 号节点未被访问过，因此将 $2$ 号节点加入 $Q$ 中，并计算新的 $Q$ 的最大团大小为 $2$。此时 $clique\_size \leq max\_clique$，进行剪枝。

7. 对于 $Q$ 中的其他节点，按照相同的方式进行分支和剪枝。由于 $2$ 号节点已经被访问过，因此只需要对 $3$ 号节点进行分支。将 $6$ 号节点加入 $Q$ 中，此时 $Q$ 中的节点为 $1, 3, 6$，并计算 $Q$ 的最大团大小为 $2$。由于 $6$ 号节点的邻居中只有 $5$ 号节点未被访问过，因此将 $5$ 号节点加入 $Q$ 中，并计算新的 $Q$ 的最大团大小为 $2$。此时 $clique\_size \leq max\_clique$，进行剪枝。

8. $Q$ 中没有节点可以再被加入，算法结束，返回 $max\_clique=2$。最大团为 $2, 3$ 或 $5, 6$。