拉格朗日呢n次差值多项式表示

A：拉格朗日n次差值多项式表示为：

$L_n(x) = \sum_{i=0}^{n} f(x_i) \prod_{j \neq i} \frac{x - x_j}{x_i - x_j}$

其中，$f(x_i)$ 表示给定的 $n+1$ 个插值点 $(x_i, f(x_i))$ 中的函数值，$x_i$ 表示插值点的横坐标，$x$ 表示需要求解函数值的横坐标。

相关问题

拉格朗日插值多项式和牛顿差值多项式不同点

拉格朗日插值多项式和牛顿差值多项式都是常用的插值方法，但它们的计算方式不同。以下是它们的不同点：

1. 计算方式

拉格朗日插值多项式是通过已知的离散数据点，构造一个多项式函数来拟合这些数据点，并通过该多项式函数来插值。而牛顿差值多项式则是通过递推的方式，不断增加插值点来构造一个多项式函数。

2. 多项式形式

拉格朗日插值多项式的形式为一个多项式函数，其中每个项都包含一个系数和一个变量。而牛顿差值多项式的形式为一个不断递增的多项式函数序列，其中每个多项式都包含一个系数和一个变量，并且每个多项式的次数比前一个多项式高一。

3. 精度

在理论上，拉格朗日插值多项式和牛顿差值多项式都可以达到任意精度，但在实际计算中，它们的精度可能会受到舍入误差等因素的影响。

总的来说，拉格朗日插值多项式和牛顿差值多项式都是有效的插值方法，但在具体应用中，应选择适合自己需求的方法。

写出fx 5次20次拉格朗日差值多项式

拉格朗日插值多项式是一种用于在已知数据点上进行插值的方法，通过这些数据点可以构建出一个多项式函数，使得多项式在每个已知数据点上的函数值与对应的数据值完全一致。

假设已知数据点为(x1, y1), (x2, y2), ..., (xn, yn)，其中x1, x2, ..., xn是给定的不同的实数，y1, y2, ..., yn是对应的函数值。用Lagrange插值多项式可以拟合出一个多项式函数P_n(x)，满足P_n(xi) = yi，1 ≤ i ≤ n。

Lagrange插值多项式的表达式为：
P_n(x) = ∑(i=1 to n) yi * Li(x)

其中，Li(x)称为插值基函数，其定义为：
Li(x) = ∏(j=1 to n，j≠i) (x - xj) / (xi - xj)

下面以n=5为例，给出5次Lagrange插值多项式的表达式：

P_5(x) = y1 * L1(x) + y2 * L2(x) + y3 * L3(x) + y4 * L4(x) + y5 * L5(x)

其中，L1(x) = (x - x2)(x - x3)(x - x4)(x - x5) / (x1 - x2)(x1 - x3)(x1 - x4)(x1 - x5)
L2(x) = (x - x1)(x - x3)(x - x4)(x - x5) / (x2 - x1)(x2 - x3)(x2 - x4)(x2 - x5)
L3(x) = (x - x1)(x - x2)(x - x4)(x - x5) / (x3 - x1)(x3 - x2)(x3 - x4)(x3 - x5)
L4(x) = (x - x1)(x - x2)(x - x3)(x - x5) / (x4 - x1)(x4 - x2)(x4 - x3)(x4 - x5)
L5(x) = (x - x1)(x - x2)(x - x3)(x - x4) / (x5 - x1)(x5 - x2)(x5 - x3)(x5 - x4)

这样，根据给定的数据点和插值基函数的表达式，可以计算出对应的5次Lagrange插值多项式。