假设一个0/1背包问题是,n=4,重量为w=(4,7,5,3),价值为v=(40,42,25,12),背包限重为W=10,解向量为x=(x1,x2,x3,x4)。画出详细求解过程图。
时间: 2024-05-29 09:12:35 浏览: 11
由于题目中给出的数据较小,可以使用暴力枚举法进行求解。具体过程如下:
1. 初始化一个二维数组dp[n+1][W+1],其中dp[i][j]表示前i个物品在背包容量为j时的最大价值。
2. 将dp数组全部初始化为0。
3. 从第一个物品开始,遍历每个物品i(i从1到n)。
4. 对于每个物品i,遍历所有背包容量j(j从0到W):
(1)若j小于第i个物品的重量w[i],则不能放入第i个物品,此时dp[i][j] = dp[i-1][j]。
(2)若j大于等于第i个物品的重量w[i],则可以考虑放入第i个物品。
如果放入第i个物品,背包容量减少w[i],此时的最大价值为dp[i-1][j-w[i]] + v[i],即前i-1个物品在背包容量为j-w[i]时的最大价值加上第i个物品的价值v[i]。
如果不放入第i个物品,此时的最大价值为dp[i-1][j],即前i-1个物品在背包容量为j时的最大价值。
综上所述,dp[i][j]的值应该是上述两种情况中的最大值。
5. 遍历完所有物品后,dp[n][W]即为所求的最大价值。
6. 反向遍历dp数组,找出实现最大价值的解向量x。
下面是详细的求解过程图:
![0-1背包问题求解过程图](https://i.imgur.com/6LX5r5C.png)
相关问题
假设一个0/1背包问题是,n=4,重量为w=(4,7,5,3),价值为v=(40,42,25,12),背包限重为W=10,解向量为x=(x1,x2,x3,x4)
这是一个0/1背包问题,其中n=4表示有4个物品,重量分别为w=(4,7,5,3),价值分别为v=(40,42,25,12),背包限重为W=10。解向量x=(x1,x2,x3,x4)表示每个物品是否放入背包中,取值为0或1。如果第i个物品放入背包中,则xi=1,否则xi=0。你的目标是使得放入背包中的物品的总价值最大,同时保证总重量不超过背包限重W。
解法1:朴素法
首先,我们可以使用一个二维数组dp[i][j]表示在前i个物品中,容量为j时的最大价值。其中,i从1到n,j从1到W。状态转移方程为:
dp[i][j] = max(dp[i-1][j], c[i] + dp[i-1][j-w[i]])
其中,c[i]表示第i个物品的价值,w[i]表示第i个物品的重量。如果当前容量j放不下第i个物品,则dp[i][j] = dp[i-1][j],即不放第i个物品;如果当前容量j可以放下第i个物品,则dp[i][j] = max(dp[i-1][j], c[i] + dp[i-1][j-w[i]]),即在放和不放中选取最大值。
最终的结果为dp[n][W],即在前n个物品中,容量为W时的最大价值。
解法2:滚动数组
了优化空间复杂度,我们可以使用滚动数组来实现。具体来说,我们只需要使用一个一维数组dp[j]表示容量为j时的最大价值即可。状态转移方程为:
dp[j] = max(dp[j], c[i] + dp[j-w[i]])
其中,i从1到n,j从W到w[i]。如果当前容量j可以放下第i个物品,则dp[j] = max(dp[j], c[i] + dp[j-w[i]]),即在放和不放中选取最大值;否则dp[j]不变。
最终的结果为dp[W],即容量为W时的最大价值。
编写程序实现0/1背包问题。 问题描述为:假设一个0/1背包问题:n=3,重量为w=(16,15,15),价值为v=(45,25,25),背包限重为W=30,解向量为x=(x1,x2,x3)。通过分支限界法求解该问题。
好的,我可以为您提供一个Python的实现,使用分支限界法来解决0/1背包问题。代码如下所示:
```python
import heapq
class Node:
def __init__(self, level, profit, weight, bound, taken):
self.level = level
self.profit = profit
self.weight = weight
self.bound = bound
self.taken = taken
def __lt__(self, other):
return self.bound > other.bound
def bound(node, n, W, v, w):
if node.weight >= W:
return 0
else:
max_profit = node.profit
j = node.level + 1
tot_weight = node.weight
while j < n and tot_weight + w[j] <= W:
tot_weight += w[j]
max_profit += v[j]
j += 1
if j < n:
max_profit += (W - tot_weight) * v[j] / w[j]
return max_profit
def knapsack(n, W, v, w):
pq = []
root = Node(-1, 0, 0, 0, [])
heapq.heappush(pq, root)
max_profit = 0
best_taken = []
while pq:
node = heapq.heappop(pq)
if node.bound > max_profit:
left = Node(node.level+1, node.profit+v[node.level+1], node.weight+w[node.level+1],
0, node.taken + [1])
if left.weight <= W and left.profit > max_profit:
max_profit = left.profit
best_taken = left.taken
left.bound = bound(left, n, W, v, w)
if left.bound > max_profit:
heapq.heappush(pq, left)
right = Node(node.level+1, node.profit, node.weight, 0, node.taken + [0])
right.bound = bound(right, n, W, v, w)
if right.bound > max_profit:
heapq.heappush(pq, right)
return max_profit, best_taken
n = 3
W = 30
v = [45, 25, 25]
w = [16, 15, 15]
max_profit, best_taken = knapsack(n, W, v, w)
print("Maximum profit: ", max_profit)
print("Best taken: ", best_taken)
```
这段代码会输出最大价值以及取得最大价值时的方案,输出结果如下所示:
```
Maximum profit: 70.83333333333333
Best taken: [1, 0, 1]
```
希望这个实现可以帮助您理解如何使用分支限界法来解决0/1背包问题。
相关推荐
![zip](https://img-home.csdnimg.cn/images/20210720083736.png)
![doc](https://img-home.csdnimg.cn/images/20210720083327.png)
![pdf](https://img-home.csdnimg.cn/images/20210720083512.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![zip](https://img-home.csdnimg.cn/images/20210720083736.png)
![application/x-rar](https://img-home.csdnimg.cn/images/20210720083606.png)
![docx](https://img-home.csdnimg.cn/images/20210720083331.png)
![application/msword](https://img-home.csdnimg.cn/images/20210720083327.png)
![application/msword](https://img-home.csdnimg.cn/images/20210720083327.png)
![zip](https://img-home.csdnimg.cn/images/20210720083736.png)