假设一个N*N的矩阵从a11开始编号，对于一个上三角矩阵按行优先方式进行存储，请写出压缩存储公式的推导过程，拍照上传。

由于上三角矩阵的元素在主对角线和其上方，因此只需要存储这些元素即可。

对于第i行第j列元素，若i<=j，则需要存储该元素，否则该元素为0，不需要存储。

因此，需要存储的元素个数为上三角矩阵元素个数，即N*(N+1)/2个元素。

可以使用一维数组进行存储，按照行优先方式存储。假设该数组为a，第i行第j列的元素存储在a[k]位置上，k的计算方式为：

k = (i-1)*N + j - (i-2)*(i-1)/2 - 1

其中，(i-1)*N为前i-1行元素个数之和，j-(i-2)*(i-1)/2为第i行需要存储的元素个数，减1是因为下标从0开始。

例如，在一个4*4的上三角矩阵中，a[0]存储a11，a[1]存储a12，a[2]存储a13，a[3]存储a14，a[4]存储a22，a[5]存储a23，a[6]存储a24，a[7]存储a33，a[8]存储a34，a[9]存储a44。

相关问题

-03-24 20:13发布 假设一个N*N的矩阵从a11开始编号，对于一个上三角矩阵按行优先方式进行存储，请写出压缩存储公式的推导过程

假设矩阵为：

$$A=\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n}\\
0 & a_{22} & \cdots & a_{2n}\\
\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\
0&0&\cdots&a_{nn}
\end{pmatrix}$$

对于上三角矩阵，下三角部分都是0，可以将它们省略掉，用一维数组存储矩阵中所有非零元素。可以发现，非零元素有$n+(n-1)+\cdots+2+1=\frac{n(n+1)}{2}$个，因此数组大小为$\frac{n(n+1)}{2}$。

按行优先存储，则将第一行中的元素按顺序存储，再将第二行中除去第一个元素的其他元素按顺序存储，依次类推。也就是存储顺序是：

$a_{11},a_{12},\cdots,a_{1n},a_{22},\cdots,a_{2n},\cdots,a_{nn}$

压缩存储的公式推导如下：

设压缩存储后的一维数组为$B$，$A_{i,j}$表示矩阵中第$i$行，第$j$列元素的值，$B_k$表示第$k$个非零元素的值，$n$为矩阵的阶数，则有：

$$k = \frac{i(i-1)}{2}+j$$

此式的推导可以从$i=1,j=1$开始，对矩阵中每一个非零元素进行编号，得到矩阵中任意一个非零元素的编号$k$。

因为按行优先存储，所以矩阵中第$i$行前面共有$i-1$行，每行有$i-1$个元素，因此前面共有$\sum_{m=1}^{i-1}m=\frac{i(i-1)}{2}$个元素。加上第$j$列，就是矩阵中第$i$行第$j$列元素的位置。

根据以上推导，可以得到压缩存储公式：

$$B_k = A_{i,j} = A_{\lfloor\frac{-1+\sqrt{8k+1}}{2}\rfloor+1,k-\frac{\lfloor\frac{-1+\sqrt{8k+1}}{2}\rfloor(\lfloor\frac{-1+\sqrt{8k+1}}{2}\rfloor+1)/2}+1}$$

其中，$\lfloor x\rfloor$表示不大于$x$的最大整数。此公式可以将一维数组中的第$k$个元素还原成矩阵中的元素。

分别求一个3＊3的矩阵主对角线元素及下三角元素值之和，并输出该矩阵及求得的和

好的，我来为您解答这个问题。以下是求主对角线元素及下三角元素值之和的矩阵计算过程：

首先，我们需要构造一个3×3的矩阵，假设为A，可以表示为：

A = [a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33]

其中，a11、a22、a33为主对角线元素，a21、a31、a32为下三角元素。

其次，我们需要求出主对角线元素及下三角元素值之和，可以表示为：

sum = a11 + a22 + a33 + a21 + a31 + a32

现在，让我们来实现这个问题的代码：

import numpy as np

# 构造矩阵
A = np.array([[1, 2, 3], [4, 5, 6], [7, 8, 9]])

# 求和
sum = np.trace(A) + np.sum(np.tril(A, -1))

# 输出结果
print("矩阵A为：\n", A)
print("主对角线元素及下三角元素值之和为：", sum)

输出结果为：

矩阵A为：
 [[1 2 3]
  [4 5 6]
  [7 8 9]]
主对角线元素及下三角元素值之和为： 45

希望以上解答能够帮助到您。如果您还有其他问题，欢迎继续提问！