matlab高斯消去法

高斯消去法是一种常见的线性方程组求解方法，可以通过消元和回代的方式求解。

假设有一个 n 阶线性方程组：

a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn = b1
a21x1 + a22x2 + ... + a2nxn = b2
...
an1x1 + an2x2 + ... + annxn = bn

其中 aij 和 bi 均为已知数，xi 为未知数。

高斯消去法的步骤如下：

1. 将方程组写成增广矩阵的形式：

[ a11 a12 ... a1n | b1 ]
[ a21 a22 ... a2n | b2 ]
[ ... ]
[ an1 an2 ... ann | bn ]

2. 对第一列进行消元，即将第一行乘以 a21/a11，然后将其减去第二行，以此类推，直到将第一列下方的元素全部变为零。这个过程中需要保证 a11 不为零，如果为零则需要交换行或者列。

3. 对第二列进行消元，即将第二行乘以 a32/a22，然后将其减去第三行，以此类推，直到将第二列下方的元素全部变为零。这个过程中需要保证 a22 不为零，如果为零则需要交换行或者列。

4. 依次对第三列、第四列、...、第 n 列进行消元，直到将整个矩阵变为上三角矩阵。

5. 从最后一行开始，依次回代求解每个未知数。具体做法是，先从最后一行求解 xn，然后带入倒数第二行求解 xn-1，以此类推，直到求解出 x1。

下面是 MATLAB 代码实现：

function x = gauss_elimination(A, b)
% A: 系数矩阵
% b: 常数向量
% x: 解向量

n = size(A, 1);

% 消元过程
for k = 1:n-1
for i = k+1:n
factor = A(i,k) / A(k,k);
A(i,k+1:n) = A(i,k+1:n) - factor * A(k,k+1:n);
b(i) = b(i) - factor * b(k);
end
end

% 回代过程
x = zeros(n, 1);
x(n) = b(n) / A(n,n);
for i = n-1:-1:1
x(i) = (b(i) - A(i,i+1:n) * x(i+1:n)) / A(i,i);
end

end