self.positional_embedding = nn.Parameter(torch.randn(spacial_dim ** 2 + 1, embed_dim) / embed_dim ** 0.5)

这行代码是用来初始化位置编码矩阵的。在自注意力机制中，要考虑输入序列中每个位置的相对位置关系，因此需要加入位置编码。这里使用了可训练的位置编码矩阵，维度为 `(spacial_dim ** 2 + 1, embed_dim)`，其中 `spacial_dim` 表示输入序列的空间维度，加 1 是因为还要考虑整个序列的位置关系。矩阵中每一行表示一个位置的编码，维度为 `embed_dim`，用于与输入嵌入向量相加。初始化时，使用了随机数进行初始化，均值为 0，标准差为 `embed_dim ** -0.5`，这是为了保证每个位置的编码的方差为 `embed_dim`。

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def __init__(self, spacial_dim: int, embed_dim: int, num_heads: int, output_dim: int = None): super().__init__() self.positional_embedding = nn.Parameter(torch.randn(spacial_dim ** 2 + 1, embed_dim) / embed_dim ** 0.5) self.k_proj = nn.Linear(embed_dim, embed_dim) self.q_proj = nn.Linear(embed_dim, embed_dim) self.v_proj = nn.Linear(embed_dim, embed_dim) self.c_proj = nn.Linear(embed_dim, output_dim or embed_dim) self.num_heads = num_heads

这段代码是一个基于自注意力机制的Transformer模型中的一部分。在这个模型中，输入被表示为一个由多个向量组成的序列，这些向量可以是文本中的单词或图像中的像素。该模型使用自注意力机制来计算每个向量与序列中其他向量之间的关系，从而产生一个新的向量表示。

在这里，`spacial_dim`表示序列中向量的数量（或者说是序列的长度）。`embed_dim`表示每个向量的维度。`num_heads`表示使用的多头注意力机制的数量。`output_dim`表示输出向量的维度，如果没有指定，则默认为`embed_dim`。

在`__init__`方法中，模型定义了四个线性变换（k_proj、q_proj、v_proj和c_proj），用于将输入向量映射到键、查询、值和输出空间中。此外，模型还定义了一个位置嵌入矩阵，用于将序列中每个向量的位置信息编码到向量表示中。最后，模型存储了使用的注意力头的数量。

positional_embedding = nn.Parameter(torch.randn(spacial_dim ** 2 + 1, embed_dim) / embed_dim ** 0.5)

这段代码是在定义一个可学习的参数 positional_embedding，用于对输入序列进行位置编码。其中，spacial_dim 表示序列的长度，embed_dim 表示每个位置编码的维度。

具体地，positional_embedding 的形状为 (spacial_dim ** 2 + 1, embed_dim)，其中第一行表示一个特殊的位置编码，用于表示输入序列中的 padding 部分。其余的位置编码按照一定规律进行生成，以表示输入序列中每个位置的相对位置关系。

在生成位置编码时，作者使用了一个公式：

$$PE_{(pos,2i)} = \sin(pos/10000^{2i/d_{\text{model}}})$$

$$PE_{(pos,2i+1)} = \cos(pos/10000^{2i/d_{\text{model}}})$$

其中 $PE_{(pos,2i)}$ 和 $PE_{(pos,2i+1)}$ 分别表示位置编码矩阵中第 pos 行的第 2i 和 2i+1 个元素的值，$d_{\text{model}}$ 表示模型的维度。这个公式在 Transformer 中被广泛使用，可以有效地表达不同位置的相对距离。