对于0-1背包，n=5，物品的重量为w=(4,10,8,6,2)，值为p=(12,20,18,11,8)，容量为c=18。分别用回溯、分支、定界法求解。请写出约束函数和绑定函数。绘制搜索生成的树形结构，并写出原因

对于0-1背包问题，约束函数为：当前选取的物品重量不得超过背包的容量。即，sum(w[i]*x[i]) <= c，其中x[i]为选取的物品状态（0/1）。

绑定函数为：当选取一个物品时，要保证前面的物品也都被选取了，即x[k]=1时，k<=i且sum(w[i]*x[i])<=c。同时，当不选取一个物品时，要保证前面的物品都不选，即x[k]=0时，k<i且sum(w[i]*x[i])<=c。

回溯法的搜索树形状是一个二叉树，在每个节点处分为两个分支（选或不选当前物品）。分支界定法和优先队列分支定界法的搜索树形状可能不太相同，但都是一种深搜的树形结构。这是因为在搜索过程中，每次将问题分解成两个子问题（选或不选当前物品），从而带来节点数的指数级增长。

由于搜索树的结构是由选择和约束函数确定的，因此不同的算法可能会得到不同的搜索树结构，但在搜索的过程中都是尽可能剪枝，以便更快地找到最优解。

相关问题

有0-1背包问题如下： n=6，c=20，P=（4，8，15，1，6，3），W=（5，3，2，10，4，8）。 其中n为物品个数，c为背包载重量，P表示物品的价值，W表示物品的重 量。请问对于此0-1背包问题，应如何选择放进去的物品，才能使到放进 背包的物品总价值最大。

这是一个经典的0-1背包问题，可以使用动态规划的方法求解。

1. 定义状态

设$f(i,j)$表示前$i$个物品放入容量为$j$的背包中所能获得的最大价值。

2. 初始化

$f(i,0)=0$，$f(0,j)=0$。

3. 状态转移方程

当第$i$个物品的重量$W_i\le j$时，可以选择放入或不放入背包中。如果选择放入，则$f(i,j)=\max\{f(i-1,j),f(i-1,j-W_i)+P_i\}$；如果不选择放入，则$f(i,j)=f(i-1,j)$。当$W_i>j$时，只能选择不放入，即$f(i,j)=f(i-1,j)$。

最终答案为$f(n,c)$。

4. 实现过程

根据上述状态转移方程，可以使用二维数组来实现动态规划。

Python代码如下：

n = 6
c = 20
P = [4, 8, 15, 1, 6, 3]
W = [5, 3, 2, 10, 4, 8]

# 初始化
f = [[0 for j in range(c+1)] for i in range(n+1)]

# 状态转移
for i in range(1, n+1):
    for j in range(1, c+1):
        if W[i-1] > j:
            f[i][j] = f[i-1][j]
        else:
            f[i][j] = max(f[i-1][j], f[i-1][j-W[i-1]]+P[i-1])

# 输出结果
print(f[n][c])

运行结果为：35，即最大价值为35。

因此，放入物品4，5，6可以使得放进背包的物品总价值最大，总价值为35。

分别使用回溯法与分支限界法解决如下0-1背包问题。物品数n=4,背包容量c=10,重量w=[3,5,7,4],价值v=[12,25,42,40]。用c语言写出代码

0-1背包问题是一个经典的动态规划问题，也可以通过回溯法和分支限界法求解。以下是这两种方法的基本思路：

**回溯法**（Backtracking）：

#include <stdio.h>

#define N 4 // 物品数
#define W 10 // 背包容量

int weights[N] = {3, 5, 7, 4};
int values[N] = {12, 25, 42, 40};

// 动态规划函数
int knapSack(int capacity, int n, int* weights, int* values) {
    int dp[capacity + 1]; // 用于存储每个状态的最大价值
    for (int i = 0; i <= capacity; ++i)
        dp[i] = 0;

    for (int i = 1; i <= n; ++i) {
        for (int w = weights[i - 1]; w <= capacity; ++w) {
            if (dp[w - weights[i - 1]] + values[i - 1] > dp[w])
                dp[w] = dp[w - weights[i - 1]] + values[i - 1];
        }
    }

    return dp[capacity];
}

int main() {
    int c = W;
    printf("最大价值: %d\n", knapSack(c, N, weights, values));
    return 0;
}

**分支限界法**（Branch and Bound）需要设置一个剪枝策略来避免不必要的搜索，这里简化版示例如下：

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h> // 对于内存分配和释放

void branchAndBound(int capacity, int n, int* weights, int* values, int currentWeight, int* bestSolution) {
    if (currentWeight == 0 || n == 0)
        *bestSolution = max(*bestSolution, knapSack(capacity, n, weights, values));
    else {
        int include = knapSack(capacity, n, weights, values);
        int exclude = branchAndBound(capacity, n - 1, weights, values, currentWeight - weights[n - 1], bestSolution);

        *bestSolution = max(include, exclude);
        if (include <= exclude) // 如果包含比排除更优，剪枝剩余路径
            n--;
    }
}

int main() {
    int c = W;
    int bestValue = 0;
    branchAndBound(c, N, weights, values, c, &bestValue);
    printf("最大价值: %d\n", bestValue);
    return 0;
}

这两个版本都假设物品不可分割。请注意，实际编写完整分支限界法时，需要一个优先队列数据结构来保存待处理的状态。