7-1 一元多项式求导 (20 分)

一元多项式求导是指对一个只有一个变量的多项式函数进行求导操作，得到其导函数。这个过程可以通过对每一项进行求导，然后将它们相加得到整个函数的导数。具体来说，对于一个一元多项式f(x)=anxn+an-1xn-1+...+a1x+a，它的导函数f'(x)可以表示为f'(x)=nanxn-1+(n-1)an-1xn-2+...+2a2x+a1。其中，n表示多项式的次数，ai表示第i项的系数。

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7-2 一元多项式求导 (20 分)

### 回答1：
一元多项式求导是指对一个只有一个变量的多项式函数进行求导操作。具体来说，就是对多项式中的每一项分别求导，并将结果相加得到最终的导数。

例如，对于多项式 f(x) = 3x^2 + 2x + 1，其导数为 f'(x) = 6x + 2。

在求导的过程中，需要注意多项式中每一项的系数和指数都要乘以其对应的导数，而常数项的导数为。此外，还需要注意链式法则和乘法法则等求导规则的应用。

总之，一元多项式求导是微积分中的基本操作之一，对于理解和应用微积分具有重要意义。

### 回答2：
一元多项式求导是高中数学中的重要部分，也是微积分的重要内容之一。在学习一元多项式求导时，我们需要掌握以下几个方面的知识。

首先，我们需要知道什么是一元多项式。一元多项式是指只含有一个变量的多项式，例如：$f(x) = x^5+x^3-2x+1$。

其次，我们需要掌握导数的概念。导数是一个函数在某一点的斜率，它描述了函数在该点附近的变化趋势。导数的定义公式为：$$f'(x) = \lim\limits_{h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}$$其中，$h$表示$x$的增量。

然后，我们需要了解求导的基本公式。对于$x^n$，它的导数为$nx^{n-1}$；对于$f(x)+g(x)$，它的导数为$f'(x)+g'(x)$；对于$f(x)g(x)$，它的导数为$f'(x)g(x)+f(x)g'(x)$。

最后，我们需要掌握求导的规则。对于多项式求导，我们可以将每一项分别求导，然后将它们相加得到整个多项式的导数。例如：$$\begin{aligned}f(x) &= x^5+x^3-2x+1 \\ f'(x) &= 5x^4+3x^2-2\end{aligned}$$

需要注意的是，多项式求导的结果仍然是一个多项式，只是次数会降低一次。

总之，学习一元多项式求导需要牢固掌握多项式、导数、求导公式和求导规则等基本知识，通过大量的例题练习和思考，逐渐提高求解问题的能力。

### 回答3：
在学习高等数学中，我们经常会遇到多次函数与多项式函数，而其中一个重要的操作就是求导。在本题中，我们将介绍一元多项式求导，其中多项式可以看做一个函数，其导函数便是对函数求导所得。接下来，我们将分几个方面介绍一元多项式求导。

一、多项式函数的定义及性质

在介绍多项式函数的求导之前，先要理解多项式函数的定义及其性质。多项式函数是指由常数和变量经过有限次加、减、乘、幂运算所得到的函数，例如：f(x) = a0 + a1x + a2x^2 + … + anx^n 中，a0，a1，a2，…，an 是常数，x 是自变量，n 是正整数。其中，每一项称为一项式，每项式中的常数和变量作为一个整体称为项系数。

多项式函数有几个重要的性质：首先，多项式函数是一个连续的函数，其在实数范围内均有定义。其次，多项式函数的导数仍是一个多项式函数。最后，多项式函数在某个点处的导数就是它在该点的斜率。

二、一元多项式求导的原理

一元多项式求导的原理是利用导数的公式，对多项式函数中的每一项式分别求导，然后将每一项式的导数相加，得出多项式的导数函数。具体而言，如果多项式的表达式为：

P(x) = a0 + a1x + a2x^2 + … + anx^n

则它的导数函数为：

P'(x) = a1 + 2a2x + 3a3x^2 + … + nanx^(n-1)

其中，a1，a2，a3，…，an 是各项式的系数，同时也是导数函数中各项式的系数。

三、一元多项式求导的基本规律

在求多项式的导函数时，需要掌握数学家牛顿的除积法则和幂法则等相关的基本规律。它们的具体表述如下：

1、常数函数求导后为0，即：(C)'=0

2、幂函数求导后，指数减1，再乘上原来的系数，即：(x^n)' = n*x^(n-1)

3、和函数的导数等于各式的导数的和，即：(u + v)' = u' + v'

4、积函数的导数等于两式分别求导后的积加上前者的导数乘以后者，即：(uv)' = u'v + uv'

5、商函数的导数等于后式的平方乘以前式的导数减去前式的平方乘以后式的导数，并除以后式的平方，即：(u/v)' = (u'v - uv')/v^2

四、一元多项式求导的举例

最后，我们来看一些实际的例子。

1、求出多项式 f(x) = 3x^4 - 2x^2 + 5 在 x = 1 时的导数。

由一元多项式求导的原理可知，首先需要对每一项式分别求导，其次将各项式的导数相加得到整个多项式的导数函数。

因此：

f'(x) = 12x^3 - 4x

将 x = 1 代入上述式子中，则有：

f'(1) = 12*1^3 - 4*1 = 8

因此，多项式 f(x) 在 x = 1 时的导数为 8。

2、求出多项式 g(x) = 4x^3 - 2x^2 + x - 5 的导数函数。

同样地，我们可以利用多项式求导的原理，对 g(x) 的每一项式分别求导，然后将各项式的导数相加。

因此：

g'(x) = 12x^2 - 4x + 1

具体来说, 4x^3 的导数系数为 12x^2, -2x^2 的导数系数为 -4x, x 的导数系数为 1, -5 的导数系数为 0。

综上所述，一元多项式求导是一种重要的数学运算，它在高等数学和其他学科中都扮演着重要的角色。因此，我们应该对其重要性有深刻的认识，并善于应用其基本原理及规律，以解决实际问题。

用链表写7-1 一元多项式求导

好的，以下是用链表写的一元多项式求导的代码：

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>

typedef struct PolyNode {
    int coef;  // 系数
    int expon; // 指数
    struct PolyNode *next;
} PolyNode, *Polynomial;

Polynomial readPoly();          // 读取多项式
Polynomial diff(Polynomial p); // 求导
void printPoly(Polynomial p);  // 输出多项式

int main() {
    Polynomial p, dp;
    p = readPoly();
    dp = diff(p);
    printPoly(dp);
    return 0;
}

Polynomial readPoly() {
    int n, c, e;
    scanf("%d", &n);
    Polynomial p, rear, t;
    p = (Polynomial)malloc(sizeof(PolyNode));
    p->next = NULL;
    rear = p;
    while (n--) {
        scanf("%d %d", &c, &e);
        t = (Polynomial)malloc(sizeof(PolyNode));
        t->coef = c;
        t->expon = e;
        t->next = NULL;
        rear->next = t;
        rear = t;
    }
    return p;
}

Polynomial diff(Polynomial p) {
    Polynomial dp, t;
    dp = (Polynomial)malloc(sizeof(PolyNode));
    dp->next = NULL;
    while (p->next) {
        p = p->next;
        if (p->expon == 0) continue; // 指数为0，导数为0
        t = (Polynomial)malloc(sizeof(PolyNode));
        t->coef = p->coef * p->expon;
        t->expon = p->expon - 1;
        t->next = NULL;
        dp->next = t;
        dp = t;
    }
    return dp;
}

void printPoly(Polynomial p) {
    if (!p->next) { // 多项式为0
        printf("0 0\n");
        return;
    }
    while (p->next) {
        p = p->next;
        printf("%d %d", p->coef, p->expon);
        if (p->next) printf(" ");
    }
    printf("\n");
}

输入格式为：

n a1 b1 a2 b2 ... an bn

其中，n 表示多项式的项数，ai 和 bi 分别表示第 i 项的系数和指数。

例如，输入样例为：

4 3 4 1 2 -4 0 2 1

表示多项式 $3x^4+x^2-4+2x$，输出样例为：

12 3 2 1 0 0

表示其导数为 $12x^3+2$。