用基础c++实现用least-squares approximation求未知原子衰变的半衰期
时间: 2023-12-10 15:40:35 浏览: 40
首先,我们需要了解什么是最小二乘法(least-squares approximation)和半衰期(half-life)。
最小二乘法是一种数学优化技术,用于寻找一组数据中的最佳拟合曲线。在本问题中,我们将使用最小二乘法来拟合一个指数函数,以估计未知原子的衰变速率。指数函数的一般形式为:
y = A * exp(-λx)
其中,A 是函数的振幅,λ 是衰变速率,x 是时间。
半衰期是指放射性物质衰变到原有数量的一半所需的时间。半衰期可以通过以下公式计算:
T1/2 = ln(2) / λ
现在我们来看看如何使用最小二乘法来估计半衰期。
首先,我们需要读入一些实验数据,这些数据包括时间和对应的放射性强度。我们将使用 std::vector 存储数据。
```c++
#include <iostream>
#include <vector>
#include <cmath>
// 实验数据
std::vector<double> time{0.0, 1.0, 2.0, 3.0, 4.0, 5.0, 6.0, 7.0, 8.0, 9.0};
std::vector<double> intensity{100.0, 73.0, 53.0, 39.0, 29.0, 21.0, 15.0, 11.0, 8.0, 6.0};
```
现在,我们可以使用最小二乘法来拟合指数函数。我们将通过最小化残差平方和来寻找最佳拟合曲线。残差是指实验数据与拟合曲线之间的差异。
```c++
// 拟合指数函数
double A = 100.0; // initial guess for amplitude
double lambda = 0.1; // initial guess for decay rate
double alpha = 0.01; // learning rate
int num_iterations = 1000;
for (int i = 0; i < num_iterations; i++) {
double sum_residuals = 0.0;
double sum_A_derivatives = 0.0;
double sum_lambda_derivatives = 0.0;
for (int j = 0; j < time.size(); j++) {
double y = A * exp(-lambda * time[j]);
double residual = intensity[j] - y;
sum_residuals += residual * residual;
double A_derivative = -2.0 * residual * exp(-lambda * time[j]);
double lambda_derivative = 2.0 * residual * A * time[j] * exp(-lambda * time[j]);
sum_A_derivatives += A_derivative;
sum_lambda_derivatives += lambda_derivative;
}
A -= alpha * sum_A_derivatives;
lambda -= alpha * sum_lambda_derivatives;
std::cout << "Iteration " << i << ": A = " << A << ", lambda = " << lambda << ", RSS = " << sum_residuals << std::endl;
}
```
在每次迭代中,我们计算残差平方和以及振幅和衰变速率的导数。然后,我们使用梯度下降法更新振幅和衰变速率的值。梯度下降法是一种常用的优化算法,用于最小化损失函数。
最后,我们可以使用半衰期公式计算估计值。
```c++
// 计算半衰期
double half_life = std::log(2.0) / lambda;
std::cout << "Estimated half-life: " << half_life << " seconds" << std::endl;
```
完整代码如下:
```c++
#include <iostream>
#include <vector>
#include <cmath>
// 实验数据
std::vector<double> time{0.0, 1.0, 2.0, 3.0, 4.0, 5.0, 6.0, 7.0, 8.0, 9.0};
std::vector<double> intensity{100.0, 73.0, 53.0, 39.0, 29.0, 21.0, 15.0, 11.0, 8.0, 6.0};
int main() {
// 拟合指数函数
double A = 100.0; // initial guess for amplitude
double lambda = 0.1; // initial guess for decay rate
double alpha = 0.01; // learning rate
int num_iterations = 1000;
for (int i = 0; i < num_iterations; i++) {
double sum_residuals = 0.0;
double sum_A_derivatives = 0.0;
double sum_lambda_derivatives = 0.0;
for (int j = 0; j < time.size(); j++) {
double y = A * exp(-lambda * time[j]);
double residual = intensity[j] - y;
sum_residuals += residual * residual;
double A_derivative = -2.0 * residual * exp(-lambda * time[j]);
double lambda_derivative = 2.0 * residual * A * time[j] * exp(-lambda * time[j]);
sum_A_derivatives += A_derivative;
sum_lambda_derivatives += lambda_derivative;
}
A -= alpha * sum_A_derivatives;
lambda -= alpha * sum_lambda_derivatives;
std::cout << "Iteration " << i << ": A = " << A << ", lambda = " << lambda << ", RSS = " << sum_residuals << std::endl;
}
// 计算半衰期
double half_life = std::log(2.0) / lambda;
std::cout << "Estimated half-life: " << half_life << " seconds" << std::endl;
return 0;
}
```
相关推荐
![rar](https://img-home.csdnimg.cn/images/20210720083606.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)