线性相关和线性无关举例

假设有两个二维向量$\vec{v_1}=(1,2)$和$\vec{v_2}=(2,4)$，它们可以写成如下形式的线性组合：

$$
\begin{aligned}
&a\vec{v_1}+b\vec{v_2}\\
=&a(1,2)+b(2,4)\\
=&(a+2b,2a+4b)
\end{aligned}
$$

如果$a$和$b$不同时为0，那么$\vec{v_1}$和$\vec{v_2}$就是线性相关的，因为它们可以通过一个非零的线性组合得到零向量$(0,0)$。如果$a$和$b$都为0，那么$\vec{v_1}$和$\vec{v_2}$就是线性无关的。

另外，如果有三个向量$\vec{v_1}=(1,0,1)$，$\vec{v_2}=(0,1,1)$和$\vec{v_3}=(1,1,2)$，我们可以写出如下的线性组合：

$$
\begin{aligned}
&a\vec{v_1}+b\vec{v_2}+c\vec{v_3}\\
=&a(1,0,1)+b(0,1,1)+c(1,1,2)\\
=&(a+c,b+c,2c+a)
\end{aligned}
$$

如果$a=1$，$b=-1$，$c=1$，那么$\vec{v_1}$、$\vec{v_2}$和$\vec{v_3}$就是线性相关的，因为它们可以通过一个非零的线性组合得到零向量$(0,0,0)$。如果不存在这样的非零线性组合，那么$\vec{v_1}$、$\vec{v_2}$和$\vec{v_3}$就是线性无关的。

相关问题

线性相关和线性无关的区别

线性相关和线性无关是线性代数中的概念。

当向量组中存在一个向量是其他向量的线性组合时，这个向量组就是线性相关的。也就是说，在线性相关的向量组中，存在某个向量可以用其他向量的线性组合表示出来。

而当向量组中的任何一个向量都不能表示成其他向量的线性组合时，这个向量组就是线性无关的。也就是说，在线性无关的向量组中，任何向量都不能表示成其他向量的线性组合。

简单来说，线性相关的向量组中存在冗余的向量，而线性无关的向量组中每个向量都是必要的。

线性相关线性无关是什么

在线性代数中，我们将向量集合称为线性相关（linearly dependent）或线性无关（linearly independent），具体定义如下：

若向量集合 $v_1,v_2,\cdots,v_n$ 中存在一组不全为零的数 $c_1,c_2,\cdots,c_n$，使得 $c_1v_1+c_2v_2+\cdots+c_nv_n=\mathbf{0}$，则称向量集合 $v_1,v_2,\cdots,v_n$ 线性相关；

若向量集合 $v_1,v_2,\cdots,v_n$ 中不存在一组不全为零的数 $c_1,c_2,\cdots,c_n$，使得 $c_1v_1+c_2v_2+\cdots+c_nv_n=\mathbf{0}$，则称向量集合 $v_1,v_2,\cdots,v_n$ 线性无关。

简单来说，如果一个向量集合中存在一组线性组合的系数不全为零，可以使得这个线性组合等于零向量，那么这个向量集合就是线性相关的，否则就是线性无关的。

这个概念在矩阵和行列式的计算中很重要，因为线性相关的向量集合中存在冗余向量，对于矩阵和行列式的计算会造成影响，而线性无关的向量集合中的向量则可以张成一个更大的向量空间，使得计算更加方便。