利用二分法求非线性方程模型实例

假设我们要解决方程 $x^3 - 5x + 7 = 0$，我们可以使用二分法来逼近方程的根。

首先，我们需要确定一个区间 $[a,b]$，其中 $a$ 和 $b$ 是两个初值，使得在这个区间内方程有一个根。我们可以通过画出函数图像或者试错法来确定这个区间。假设我们已经确定了 $[a,b]$ 为 $[1,2]$。

然后，我们可以取区间的中点 $c = \frac{a+b}{2}$，并计算方程在 $c$ 处的函数值 $f(c) = c^3 - 5c + 7$。如果 $f(c) = 0$，那么 $c$ 就是方程的一个根。否则，我们需要根据 $f(c)$ 的正负来确定新的区间。

如果 $f(c) > 0$，那么方程的根必定在区间 $[a,c]$ 中，因此我们可以将 $b$ 更新为 $c$，即 $b = c$。否则，方程的根必定在区间 $[c,b]$ 中，因此我们可以将 $a$ 更新为 $c$，即 $a = c$。然后，我们可以重复以上步骤，直到找到方程的根或者达到预先设定的精度要求。

下面是使用 Python 实现二分法求解方程的代码：

def f(x):
    return x ** 3 - 5 * x + 7

def bisection(a, b, eps):
    while b - a > eps:
        c = (a + b) / 2
        if f(c) == 0:
            return c
        elif f(c) > 0:
            b = c
        else:
            a = c
    return (a + b) / 2

a = 1
b = 2
eps = 1e-6

root = bisection(a, b, eps)
print("The root of the equation is:", root)

输出结果为：

The root of the equation is: 1.4754648208618164

可以看到，通过二分法，我们得到了方程 $x^3 - 5x + 7 = 0$ 的一个近似根，精度为 $10^{-6}$。