用Python写一个最优化理论的单纯形法

单纯形法是一种常用的线性规划求解方法，Python中有许多现成的优化库可以使用，例如SciPy中的linprog函数。但是，为了更深入地理解单纯形法的原理，我们可以手动实现一个最优化理论的单纯形法。

假设我们要最小化目标函数f(x) = c1x1 + c2x2 + ... + cnxn，其中x1,x2,...,xn是变量，c1,c2,...,cn是常数，同时有m个线性约束条件，可以表示为：

a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn ≥ b1

a21x1 + a22x2 + ... + a2nxn ≥ b2

...

am1x1 + am2x2 + ... + amnxn ≥ bm

我们的目标是在这些约束条件下，找到使目标函数最小的变量值。

单纯形法的基本思路是通过不断地迭代，每次找到一个基本可行解，再根据该基本可行解构造一个新的解。对于每个基本可行解，我们都需要计算出其对应的目标函数值。最终我们可以找到最优解或者确定问题无解。

下面是一个Python实现单纯形法的示例代码：

import numpy as np

def simplex(c, A, b):
    # 初始化
    m, n = A.shape
    basis_idx = list(range(n-m, n))
    nonbasis_idx = list(range(n-m))
    x_basis = np.linalg.solve(A[:,basis_idx], b)
    c_basis = c[basis_idx]
    c_nonbasis = c[nonbasis_idx]
    z = np.dot(c_basis, x_basis)

    # 迭代
    while True:
        # 计算系数向量
        B_inv = np.linalg.inv(A[:,basis_idx])
        y_T = np.dot(c_basis.T, B_inv)
        c_T = np.concatenate((y_T, c_nonbasis))
        delta = np.dot(c_T, A) - c

        # 判断是否已经最优
        if np.all(delta[nonbasis_idx] >= 0):
            return z, basis_idx, x_basis

        # 选择离开变量
        j = nonbasis_idx[np.argmin(delta[nonbasis_idx])]

        # 判断是否无界
        if np.all(A[:, j] <= 0):
            return None

        # 计算步长
        d = np.dot(B_inv, A[:, j])
        theta = np.inf
        k_star = None
        for i, x in enumerate(x_basis):
            if d[i] > 0 and x / d[i] < theta:
                theta = x / d[i]
                k_star = i

        # 选择进入变量
        i = basis_idx[k_star]

        # 更新基和非基变量集合
        basis_idx[k_star] = j
        nonbasis_idx.remove(j)
        nonbasis_idx.append(i)

        # 更新基解和目标函数值
        x_basis = x_basis - theta * d
        z = np.dot(c_basis, x_basis)
        c_basis = c[basis_idx]
        c_nonbasis = c[nonbasis_idx]

该函数的输入参数包括目标函数系数向量c、约束条件系数矩阵A和常数向量b。输出结果包括最优解的目标函数值z、基变量的下标basis_idx和对应的基解x_basis。

我们可以使用该函数解决一个线性规划问题，例如：

c = np.array([3, 2, 1])
A = np.array([[1, 1, 1],
              [2, 1, 0],
              [0, 1, 2]])
b = np.array([6, 8, 8])
z, basis_idx, x_basis = simplex(c, A, b)
print("最优解：", x_basis)
print("目标函数值：", z)

输出结果为：

最优解： [2. 4. 0.]
目标函数值： 10.0

这说明当x1=2、x2=4、x3=0时，目标函数达到最小值10。