每种物品可以放多个的背包问题分支界限法
时间: 2023-11-08 14:10:29 浏览: 46
每种物品可以放多个的背包问题可以使用分支界限法来求解。具体来说,可以采用深度优先搜索的方式,每一层搜索对应放入一种物品的决策,每个节点记录当前已经放入的物品和剩余容量,每次搜索时,先对剩余容量进行排序,然后依次考虑放入1个、2个、3个……直到放不下为止,对于每个放入方案,计算当前价值和剩余容量可以获得的最大价值上界,将所有方案按照上界排序,优先搜索价值上界最高的方案。当搜索到叶子节点时,记录当前的最优解,如果当前节点的上界小于最优解,则剪枝。此外,可以使用启发式函数对价值上界进行估计,以加速搜索。
下面是一个简单的 Matlab 代码实现:
```matlab
function [opt_x, opt_val] = branch_bound_01knapsack(c, w, b)
% c:物品价值,大小为 n×1 的向量
% w:物品重量,大小为 n×1 的向量
% b:背包容量
% opt_x:最优解,大小为 n×1 的向量,1 表示选择该物品,0 表示不选
% opt_val:最优解对应的价值
n = length(c);
x = zeros(n, 1); % 当前节点的决策向量
opt_x = zeros(n, 1); % 最优解
opt_val = 0; % 最优解对应的价值
queue = struct('x', x, 'val', 0, 'cap', b); % 优先队列
queue = [queue, queue, queue, queue, queue]; % 初始化队列
head = 1; % 队列头指针
tail = 5; % 队列尾指针
% 计算当前节点的上界
function [val, cap] = get_upper_bound(x, val, cap)
remain_w = w(~x); % 剩余物品的重量
remain_c = c(~x); % 剩余物品的价值
[~, idx] = sort(remain_c ./ remain_w, 'descend'); % 按单位重量价值排序
i = 1;
while cap > 0 && i <= length(remain_w)
if remain_w(idx(i)) <= cap
cap = cap - remain_w(idx(i));
val = val + remain_c(idx(i));
else
val = val + cap * (remain_c(idx(i)) / remain_w(idx(i)));
cap = 0;
end
i = i + 1;
end
end
% 搜索队列中的节点
while head <= tail
curr_node = queue(head);
head = head + 1;
if curr_node.val > opt_val % 更新最优解
opt_x = curr_node.x;
opt_val = curr_node.val;
end
if head > tail % 队列为空
break
end
remain_w = w(~curr_node.x); % 剩余物品的重量
remain_c = c(~curr_node.x); % 剩余物品的价值
% 不选当前物品
next_node = curr_node;
next_node.x(length(curr_node.x) - length(remain_w) + 1) = 0;
[next_node.val, next_node.cap] = get_upper_bound(next_node.x, next_node.val, next_node.cap);
if next_node.val > opt_val % 更新最优解
opt_x = next_node.x;
opt_val = next_node.val;
end
if next_node.cap > 0 % 有剩余容量
next_node.val = next_node.val + sum(c(next_node.x == 1)); % 加上已选物品的价值
next_node.cap = next_node.cap - sum(w(next_node.x == 1)); % 减去已选物品的重量
if next_node.val > opt_val % 更新最优解
opt_x = next_node.x;
opt_val = next_node.val;
end
queue(tail) = next_node;
tail = tail + 1;
end
% 选当前物品
i = 1;
while i <= length(remain_w) && remain_w(i) <= curr_node.cap
next_node = curr_node;
next_node.x(length(curr_node.x) - length(remain_w) + i) = 1;
next_node.val = next_node.val + remain_c(i);
next_node.cap = next_node.cap - remain_w(i);
if next_node.val > opt_val % 更新最优解
opt_x = next_node.x;
opt_val = next_node.val;
end
queue(tail) = next_node;
tail = tail + 1;
i = i + 1;
end
end
end
```
注:该代码仅供参考,实际使用时需要根据具体情况进行修改。
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