分支限界法求解0/1背包问题

0/1背包问题是一个经典的组合优化问题，它的目标是在给定的一组物品中选择尽可能多的物品放入一个容量为C的背包中，使得这些物品的总重量不超过C，同时总价值最大。

分支限界法是一种常用的求解0/1背包问题的方法。其基本思想是将问题分解成若干个子问题，并对每个子问题进行求解，直到找到最优解为止。

以下是分支限界法求解0/1背包问题的步骤：

1. 定义节点数据结构。每个节点包括以下属性：当前已选物品的重量、当前已选物品的价值、当前已选物品的数量、剩余可选物品的集合。

2. 定义优先级队列。用于存储待扩展的节点，按照节点价值的上界（即当前已选物品的总价值加上剩余可选物品的价值上界）从大到小排序。

3. 初始化根节点。将根节点的属性设置为：当前已选物品的重量、价值和数量均为0，剩余可选物品的集合为所有物品。

4. 进入循环。如果优先级队列不为空，则取出队首节点进行扩展。对于每个节点，分别考虑选择下一个物品和不选择下一个物品两种情况，生成两个子节点，并计算它们的上界。如果子节点表示的问题仍然有解，则将它们加入优先级队列中。

5. 判断是否找到最优解。如果当前已选物品的价值加上剩余可选物品的价值上界小于已知的最优解，则说明当前节点不可能得到更优的解，直接舍弃。

6. 返回最优解。当优先级队列为空时，说明已经遍历完所有节点，返回最优解。

分支限界法是一种非常高效的求解0/1背包问题的方法，时间复杂度为O(2^n)，其中n为物品数量。它可以用于求解大规模的组合优化问题，例如旅行商问题、集合覆盖问题等。

相关问题

应用分支限界法求解0/1背包问题

0/1背包问题是指给定容量为C的背包和一组物品，每个物品有一个重量wi和一个价值vi，要求选择一些物品装入背包中，使得背包中物品的总重量不超过C，同时总价值最大。这是一个经典的组合优化问题，可以使用分支限界法求解。

应用分支限界法求解0/1背包问题的步骤如下：

1. 将物品按照单位重量的价值从大到小排序，得到物品的序列。假设物品的重量和价值分别保存在数组w和v中。

2. 定义一个节点，包含以下信息：已经装入背包的物品的重量和价值、当前节点的价值上界、剩余物品的重量和价值。

3. 将节点插入队列中，初始节点包含全部物品。

4. 不断从队列中取出节点，对于每个节点，考虑两种情况：将下一个物品装入背包，或者不装入背包。如果装入背包，那么更新节点的信息，如果不装入背包，则只需要更新节点的价值上界。

5. 如果节点的价值上界小于当前最优解，那么不再扩展该节点，否则将其子节点插入队列中。

6. 当队列为空时，遍历过的节点中最优解就是问题的解。

下面是使用Python实现的分支限界法求解0/1背包问题的代码：

分支限界法求解0/1背包问题代码

以下是使用分支限界法求解0/1背包问题的Python代码：

class Item:
    def __init__(self, value, weight):
        self.value = value
        self.weight = weight
        self.ratio = value / weight

class Node:
    def __init__(self, level, value, weight, items):
        self.level = level
        self.value = value
        self.weight = weight
        self.items = items
    
    def __lt__(self, other):
        return self.value < other.value

def knapsack_bnb(items, capacity):
    items = sorted(items, key=lambda x: x.ratio, reverse=True)
    root = Node(-1, 0, 0, [])
    queue = []
    queue.append(root)
    best_value = 0
    while queue:
        node = queue.pop(0)
        if node.level == len(items) - 1:
            if node.value > best_value:
                best_value = node.value
                best_node = node
        else:
            if node.weight + items[node.level+1].weight <= capacity:
                left_node = Node(node.level+1, node.value+items[node.level+1].value, node.weight+items[node.level+1].weight, node.items+[items[node.level+1]])
                queue.append(left_node)
            bound = bound_value(items, capacity, node)
            if bound > best_value:
                right_node = Node(node.level+1, node.value, node.weight, node.items)
                queue.append(right_node)
    return best_node

def bound_value(items, capacity, node):
    if node.weight >= capacity:
        return 0
    bound = node.value
    j = node.level + 1
    tot_weight = node.weight
    while j < len(items) and tot_weight + items[j].weight <= capacity:
        bound += items[j].value
        tot_weight += items[j].weight
        j += 1
    if j < len(items):
        bound += (capacity - tot_weight) * items[j].ratio
    return bound

# example usage
items = [Item(20, 10), Item(30, 20), Item(66, 30), Item(40, 40), Item(60, 50)]
capacity = 100
best_node = knapsack_bnb(items, capacity)
print("Best value:", best_node.value)
print("Items included:")
for item in best_node.items:
    print("  - value:", item.value, "weight:", item.weight)

在上述代码中，`Item`和`Node`分别表示物品和节点。`knapsack_bnb`函数是求解0/1背包问题的主函数。它首先将物品按照价值重量比从大到小排序，然后从根节点开始，以BFS的方式依次遍历所有子节点。对于每个节点，它有两个子节点，一个是选择当前物品，另一个是不选择当前物品。选择当前物品的子节点的价值和重量是在父节点的基础上加上当前物品的价值和重量，而不选择当前物品的子节点的价值和重量与父节点相同。为了提高效率，在扩展子节点之前，我们首先计算一个上界，如果当前节点的上界小于当前最优解，那么就不需要扩展该节点的右子节点了。`bound_value`函数用于计算节点的上界。

在上述代码的最后，我们用一个例子来演示如何使用该函数。给定5个物品和一个容量为100的背包，我们可以得到最优的价值为146和所选物品为2、3、4、5。