1. 用C语言代码求下列各种数值方法估计定积分 ∫_0^π▒〖e^x cos⁡（4x）dx=〗 (e^π-1)/17 (a) 复化梯形公式 (b) 复化 Simpson 公式 (c) (复化)Gauss 公式 比较各种方法的效率和精度。效率可以用计算过程中调用函数值的次数来衡量，精度用误差衡量，这个题目知道精确解，可以直接求误差，但是大部分题目是不知道精确解的。精度也 可以用加密（步长减半）前后误差的比值来衡量，当比值越大，误差下降的速度越快。

以下是用 C 语言实现三种数值积分方法的代码：

(a) 复化梯形公式

#include <stdio.h>
#include <math.h>

double f(double x) {
    return exp(x) * cos(4*x);
}

double trapezoidal(double a, double b, int n) {
    double h = (b-a)/n;
    double sum = 0;
    for (int i = 1; i < n; i++) {
        sum += f(a+i*h);
    }
    return h/2*(f(a) + f(b) + 2*sum);
}

int main() {
    double a = 0;
    double b = M_PI;
    double exact = (exp(M_PI)-1)/17;
    double approx = trapezoidal(a, b, 2);
    double error = fabs(approx - exact);
    printf("approximation = %lf\n", approx);
    printf("error = %lf\n", error);
    return 0;
}

(b) 复化 Simpson 公式

#include <stdio.h>
#include <math.h>

double f(double x) {
    return exp(x) * cos(4*x);
}

double simpson(double a, double b, int n) {
    double h = (b-a)/n;
    double sum1 = 0, sum2 = 0;
    for (int i = 1; i < n; i += 2) {
        sum1 += f(a+i*h);
    }
    for (int i = 2; i < n; i += 2) {
        sum2 += f(a+i*h);
    }
    return h/3*(f(a) + 4*sum1 + 2*sum2 + f(b));
}

int main() {
    double a = 0;
    double b = M_PI;
    double exact = (exp(M_PI)-1)/17;
    double approx = simpson(a, b, 2);
    double error = fabs(approx - exact);
    printf("approximation = %lf\n", approx);
    printf("error = %lf\n", error);
    return 0;
}

(c) 复化 Gauss 公式

#include <stdio.h>
#include <math.h>

double f(double x) {
    return exp(x) * cos(4*x);
}

double gauss(double a, double b, int n) {
    double x[3] = {-0.774597, 0, 0.774597};
    double w[3] = {0.555556, 0.888889, 0.555556};
    double sum = 0;
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        double xi = a + (i+0.5)*(b-a)/n;
        for (int j = 0; j < 3; j++) {
            double xj = x[j];
            double wj = w[j];
            sum += wj*f(0.5*(1-xj)*xi + 0.5*(1+xj)*(a+b)/n);
        }
    }
    return 0.5*(b-a)/n*sum;
}

int main() {
    double a = 0;
    double b = M_PI;
    double exact = (exp(M_PI)-1)/17;
    double approx = gauss(a, b, 2);
    double error = fabs(approx - exact);
    printf("approximation = %lf\n", approx);
    printf("error = %lf\n", error);
    return 0;
}

从精度和效率来看，复化 Simpson 公式和复化 Gauss 公式的精度较高，复化梯形公式的精度较低。在效率方面，复化 Gauss 公式的计算过程中需要调用函数的次数最多，而复化梯形公式的计算过程中需要调用函数的次数最少。总体来说，选择哪种方法应该在精度和效率之间做出权衡。