共轭梯度法求解线性方程组matlab程序并给出示例

以下是Matlab中使用共轭梯度法求解线性方程组的示例代码：

% 定义系数矩阵 A 和右侧向量 b
A = [4 -1 0; -1 4 -1; 0 -1 4];
b = [15; 10; 10];

% 初始解向量 x0 和迭代次数 max_iter
x0 = [0; 0; 0];
max_iter = 100;

% 调用Matlab内置的共轭梯度函数 pcg 求解线性方程组 Ax = b
[x, flag, relres, iter] = pcg(A, b, 1e-6, max_iter, [], [], x0);

% 输出结果
fprintf('共轭梯度法求解线性方程组 Ax=b 的结果：\n');
fprintf('解向量 x = \n');
disp(x);
fprintf('迭代次数 iter = %d\n', iter);

这段代码中，我们首先定义了线性方程组的系数矩阵 A 和右侧向量 b。然后，我们调用Matlab内置的共轭梯度函数 pcg 来求解 Ax=b，其中第一个参数是系数矩阵 A，第二个参数是右侧向量 b，第三个参数是误差容限，第四个参数是最大迭代次数，最后一个参数是初始解向量 x0。

pcg 函数的返回值包括解向量 x、求解状态 flag、相对残差 relres 和迭代次数 iter。我们最后输出解向量 x 和迭代次数 iter。

注意，这里的共轭梯度法是通过调用Matlab内置函数来实现的，如果需要自己编写共轭梯度法的代码，可以参考以下伪代码：

输入系数矩阵 A、右侧向量 b、误差容限 tol、最大迭代次数 max_iter 和初始解向量 x0
r0 = b - A * x0
p0 = r0
k = 0
while k < max_iter
    Ap = A * p_k
    alpha_k = dot(r_k, r_k) / dot(p_k, Ap)
    x_k+1 = x_k + alpha_k * p_k
    r_k+1 = r_k - alpha_k * Ap
    beta_k+1 = dot(r_k+1, r_k+1) / dot(r_k, r_k)
    p_k+1 = r_k+1 + beta_k+1 * p_k
    if ||r_k+1|| < tol
        break
    end
    k = k + 1
end
输出解向量 x_k+1 和迭代次数 k+1

其中，r_k 表示第 k 次迭代后的残差向量，p_k 表示第 k 次迭代后的搜索方向向量，alpha_k 表示第 k 次迭代时的步长，beta_k+1 表示第 k+1 次迭代时的搜索方向向量更新系数。每次迭代后，我们需要检查残差向量的范数是否小于误差容限 tol，如果是，则跳出循环并输出解向量和迭代次数。