matlab预处理共轭梯度法求解线性方程组举例

当使用共轭梯度法解决线性方程组时，通常需要进行一些预处理步骤以提高求解效率和数值稳定性。以下是一个使用MATLAB进行预处理共轭梯度法求解线性方程组的示例：

% 创建示例线性方程组 Ax = b
n = 100; % 方程组的维度
A = gallery('poisson', n); % 创建一个具有对角占优性质的矩阵
b = ones(n, 1);

% 预处理步骤
M = diag(diag(A)); % 对角预处理，构造对角矩阵作为预处理矩阵

% 共轭梯度法求解线性方程组
x0 = zeros(n, 1); % 初始解
tol = 1e-6; % 迭代收敛精度
max_iter = n; % 最大迭代次数

[x, flag, relres, iter] = pcg(A, b, tol, max_iter, M, M', x0);

% 输出结果
disp(['共轭梯度法迭代次数：', num2str(iter)]);
disp(['相对残差：', num2str(relres)]);
disp(['是否收敛：', num2str(flag == 0)]);

% 可选：计算精确解并计算误差
x_exact = A\b;
error = norm(x - x_exact);
disp(['求解误差：', num2str(error)]);

这个示例中，我们首先创建了一个具有对角占优性质的线性方程组Ax=b（使用`gallery`函数创建了一个Poisson方程组的系数矩阵），然后定义了预处理矩阵M为A的对角矩阵。接下来，我们使用MATLAB中的`pcg`函数进行共轭梯度法求解，并指定预处理矩阵M和其转置M'。最后，我们输出了迭代次数、相对残差和是否收敛，并可选地计算了求解误差。

请注意，这只是一个简单的示例，实际应用中可能需要根据具体问题进行适当的预处理选择和参数调整。预处理方法有很多种，如不完全Cholesky分解、不完全LU分解等，具体选择取决于问题的特点和求解效果的需求。