预处理共轭梯度法求解线性方程组Matlab

预处理共轭梯度法是求解大规模稀疏线性方程组的一种重要方法，它通过引入一个预处理矩阵来加速共轭梯度法的收敛速度。

Matlab中提供了pcg函数来实现预处理共轭梯度法的求解过程。pcg函数的调用格式为：

x = pcg(A,b,tol,maxit,M)

其中，A是系数矩阵，b是右端向量，tol是收敛精度，maxit是迭代次数上限，M是预处理矩阵。

下面以一个简单的例子来演示如何使用Matlab中的pcg函数求解线性方程组：

% 构造系数矩阵和右端向量
n = 1000;
A = gallery('poisson',n); % 生成Poisson矩阵
b = randn(n,1);

% 定义预处理矩阵M
M = ichol(A);

% 调用pcg函数求解线性方程组
[x,flag,relres,iter,resvec] = pcg(A,b,1e-6,100,M);

% 输出求解结果和迭代信息
fprintf('求解结果：\n');
disp(x(1:10));
fprintf('迭代次数：%d\n',iter);
fprintf('相对残差：%e\n',relres);

在上述代码中，我们首先使用Matlab中的gallery函数生成了一个Poisson矩阵作为系数矩阵，然后随机生成了一个右端向量b。接着定义了一个预处理矩阵M，这里我们使用了ichol函数来生成不完全Cholesky分解的预处理矩阵。最后调用pcg函数求解线性方程组，并输出求解结果和迭代信息。

需要注意的是，在实际应用中，预处理矩阵的选择会对求解速度和精度产生很大的影响，需要根据具体问题进行选择。