(飞机搜索潜艇)已知t=0时潜艇在0点,飞机在A点,OA=6。潜艇速度为v1=20,飞机速度为v2=40,潜艇以任意方向直线离开,要使飞机发现潜艇,求飞机的飞行路线。
时间: 2024-03-29 11:36:15 浏览: 29
首先我们可以画一个坐标系,取潜艇此刻的位置为原点。
![image](https://cdn.luogu.com.cn/upload/image_hosting/aoz8v5x1.png)
设此时潜艇的速度方向与x轴的夹角为θ,飞机从A点出发,以速度v2沿着线段OA飞行,设其与x轴的夹角为α。
此时潜艇的运动轨迹为一条直线,其方程为y = tanθ * x。将飞机的运动轨迹表示出来,设其方程为y = kx + b。因为飞机一开始在A点,所以b = 6 * tanα。我们只需要求出k和α,就可以得到飞机的飞行路线。
首先考虑飞机的速度分解。飞机的速度v2可以分解为沿着x轴的分速度v2x和沿着y轴的分速度v2y。因为飞机的速度大小为v2,所以可以得到以下方程:
v2x^2 + v2y^2 = v2^2
因为飞机的速度方向与OA的夹角为α,所以可以得到以下方程:
tanα = v2y / v2x
解以上方程组,可以得到:
v2x = v2 * cosα
v2y = v2 * sinα
代入第一个方程,可以得到:
v2 * cosα^2 + v2 * sinα^2 = v2^2
所以:
v2x = v2 * cosα = v2 / cosα
v2y = v2 * sinα = v2 * tanα
因为飞机的速度大小为v2,所以可以得到:
v2^2 = v2x^2 + v2y^2 = v2^2 / cosα^2 + v2^2 * tanα^2
化简后得到:
cosα^2 = 1 / (1 + tanα^2)
代入v2x的表达式中,可以得到:
v2x = v2 / cosα = v2 * sqrt(1 + tanα^2)
因为潜艇沿着直线y = tanθ * x 运动,所以飞机的轨迹方程为:
y = kx + 6 * tanα
两条直线的交点为潜艇此刻的位置,即原点(0,0)。所以可以得到以下方程:
k * 0 + 6 * tanα = 0
k * 0 + 6 * tanθ * 0 = 0
解以上方程组,可以得到:
k = -6 * tanθ / tanα
代入飞机的轨迹方程中,可以得到:
y = -6 * tanθ / tanα * x + 6 * tanα
现在问题转化为了求解α和θ的值。因为飞机要发现潜艇,所以它必须在潜艇到达某个位置之前到达那个位置。设潜艇到达某个位置需要的时间为t,此时潜艇的位置为(xt, yt)。可以得到以下方程:
xt = v1 * t * cosθ
yt = v1 * t * sinθ
因为飞机的速度为v2,所以它到达潜艇所在的位置所需要的时间为:
t' = sqrt((xt - 6)^2 + yt^2) / v2
因为t'必须小于t,所以可以得到以下不等式:
sqrt((v1 * t * cosθ - 6)^2 + (v1 * t * sinθ)^2) / v2 < t
化简后得到:
(tanα)^2 < ((v1 * t)^2 - 36) / (v2^2 * t^2)
因为潜艇可以沿着任意方向离开,所以α的取值范围为0到π/2。
现在我们需要求解一个三次方程:
6 * tanθ / tanα = k
(tanα)^2 < ((v1 * t)^2 - 36) / (v2^2 * t^2)
其中k和t已知,θ和α为未知数。我们可以使用牛顿迭代法求解这个方程组。具体做法为:
1. 选取一个初始值α0,计算出对应的θ0。
2. 计算出方程组的雅可比矩阵J和残差向量r。
3. 解线性方程组J * Δx = -r,得到Δx。
4. 计算出新的解向量x = x + Δx。
5. 如果新的解向量与上一个解向量之间的差异小于一个给定的容差,停止迭代;否则返回第2步。
我们可以将方程组写成向量形式:
f(x) = [6 * tanθ / tanα - k, (tanα)^2 - ((v1 * t)^2 - 36) / (v2^2 * t^2)]
其中x = [θ, α]。
雅可比矩阵J为:
J = [6 * sec^2(α) / tanα, -6 * tanθ * sec^2(α) / tanα^2]
[0, 2 * tanα / (v2^2 * t^2)]
迭代过程中需要计算出tan、sec和其它三角函数的值。可以使用数值计算库来完成这个任务。另外,迭代过程中需要注意避免除以零等错误。
最终求得的α和θ即为飞机的飞行路线。
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