用MATLAB解决问题：2y''(t)+ 2y'(t)+ 77y(t) = f(t) 在t>=0时接入激励f(t)=10*sin(2 *pi *t), y'(0) =2， y(0) =1，求零状态响应，求零输入响应并图形展示

首先，我们需要求出这个微分方程的特征方程：

2r^2 + 2r + 77 = 0

解这个方程可以得到两个复数解：

r = -0.5 + 4.059i 或 r = -0.5 - 4.059i

因为这两个解是共轭复数，所以我们可以将通解表示为：

y(t) = e^(-0.5t)(c1*cos(4.059t) + c2*sin(4.059t))

其中c1和c2是待定系数。现在我们可以使用初始条件y(0) = 1和y'(0) = 2来解出这些系数：

y(0) = c1 = 1

y'(0) = -0.5c1 + 4.059c2 = 2

解这个方程组可以得到：

c1 = 1

c2 = 0.4919

因此，零状态响应为：

y_h(t) = e^(-0.5t)cos(4.059t)

现在我们需要求出零输入响应。我们可以令f(t) = 0，然后解出这个微分方程的零输入响应：

2y''(t) + 2y'(t) + 77y(t) = 0

这个方程的特征方程是：

2r^2 + 2r + 77 = 0

它有两个实数解：

r = -0.5 ± 4.059i

因此，零输入响应可以表示为：

y_p(t) = c1e^(-0.5t)cos(4.059t) + c2e^(-0.5t)sin(4.059t)

为了确定c1和c2的值，我们需要考虑初始条件。因为这个微分方程是线性的，我们可以将零输入响应表示为两个分别与c1和c2相关的函数之和：

y_p(t) = y1(t) + y2(t)

其中：

y1(t) = e^(-0.5t)cos(4.059t)

y2(t) = e^(-0.5t)sin(4.059t)

根据初始条件y(0) = 1和y'(0) = 2，我们可以得到：

c1 = 1

c2 = 3.5806

因此，零输入响应为：

y_p(t) = e^(-0.5t)cos(4.059t) + 3.5806e^(-0.5t)sin(4.059t)

现在我们可以将零状态响应和零输入响应相加，得到总响应：

y(t) = y_h(t) + y_p(t)

y(t) = e^(-0.5t)cos(4.059t) + e^(-0.5t)cos(4.059t) + 3.5806e^(-0.5t)sin(4.059t)

y(t) = 2e^(-0.5t)cos(4.059t) + 3.5806e^(-0.5t)sin(4.059t)

现在我们可以用MATLAB来绘制y(t)随时间变化的图形：

t = linspace(0, 10, 1000);
y = 2 * exp(-0.5*t) .* cos(4.059*t) + 3.5806 * exp(-0.5*t) .* sin(4.059*t);
plot(t, y);
xlabel('Time');
ylabel('y(t)');
title('Response of 2y''''(t) + 2y''(t) + 77y(t) = 10*sin(2*pi*t)');
grid on;

运行这段代码可以得到一个图形，它显示了y(t)随时间变化的情况。