用梯形公式和辛普森公式计算积分的截断误差

梯形公式和辛普森公式都是数值积分的方法，它们的截断误差可以通过理论分析得到。

梯形公式的截断误差为：

$E_t = -\frac{(b-a)^3}{12n^2}f''(\xi)$

其中，$a$和$b$是积分区间的端点，$n$是使用的梯形数（将积分区间分成$n$个小区间），$f''(\xi)$是被积函数在积分区间$[a,b]$上的二阶导数，$\xi$是介于$a$和$b$之间的某个数。

辛普森公式的截断误差为：

$E_s = -\frac{(b-a)^5}{2880n^4}f^{(4)}(\xi)$

其中，$f^{(4)}(\xi)$是被积函数在积分区间$[a,b]$上的四阶导数。

可以看出，当$n$增大时，梯形公式和辛普森公式的截断误差都会减小。但是，使用过多的梯形数或辛普森数也会导致计算时间增加和精度误差增大。因此，在实际应用中需要根据具体情况选择合适的$n$值。

相关问题

用梯形公式和辛普森公式计算积分的截断误差python

梯形公式和辛普森公式都是数值积分的方法，它们的截断误差可以通过理论分析得到。

梯形公式的截断误差为：

$$
E_T = -\frac{(b-a)^3}{12}f''(\xi_T)
$$

其中，$a$和$b$是积分区间的端点，$\xi_T$是积分区间内的某个点，$f''(\xi_T)$是被积函数在$\xi_T$处的二阶导数。

辛普森公式的截断误差为：

$$
E_S = -\frac{(b-a)^5}{2880}f^{(4)}(\xi_S)
$$

其中，$a$和$b$是积分区间的端点，$\xi_S$是积分区间内的某个点，$f^{(4)}(\xi_S)$是被积函数在$\xi_S$处的四阶导数。

下面是使用Python代码计算梯形公式和辛普森公式的截断误差的示例：

import math

def trapezoidal_rule_error(f, a, b):
    h = (b - a) / 2
    return -(h ** 3 / 3) * f.diff(x, 2).subs(x, a + h/2)

def simpson_rule_error(f, a, b):
    h = (b - a) / 2
    return -(h ** 5 / 90) * f.diff(x, 4).subs(x, a + h)

其中，`f`是被积函数，`a`和`b`是积分区间的端点，`x`是自变量。`trapezoidal_rule_error`函数计算梯形公式的截断误差，`simpson_rule_error`函数计算辛普森公式的截断误差。这里使用了Sympy库进行符号计算。

用梯形公式和辛普森公式计算积分∫_0^1▒4/(1+x^2)dx的截断误差是多少 python

首先，我们先求出积分的精确值。这里可以使用反三角函数来求解：

∫_0^1▒4/(1+x^2)dx = 4 arctan(x) |_0^1 = 4 arctan(1) - 4 arctan(0) = π

接下来，我们可以使用梯形公式和辛普森公式来近似计算积分。假设我们使用 $n$ 个子区间，下面是 Python 代码：

import numpy as np

# 定义被积函数
def f(x):
    return 4 / (1 + x**2)

# 梯形公式
def trapezoidal_rule(f, a, b, n):
    h = (b - a) / n
    x = np.linspace(a, b, n+1)
    y = f(x)
    s = np.sum(y) - 0.5*y[0] - 0.5*y[-1]
    return h*s

# 辛普森公式
def simpsons_rule(f, a, b, n):
    h = (b - a) / n
    x = np.linspace(a, b, n+1)
    y = f(x)
    s = 4*np.sum(y[1:n:2]) + 2*np.sum(y[2:n-1:2]) + y[0] + y[-1]
    return h*s/3

# 计算梯形公式的截断误差
def trapezoidal_error(f, a, b, n):
    h = (b - a) / n
    M2 = np.max(np.abs(f(x))) # f''(x)的最大值
    return (b-a)*h**2/12 * M2

# 计算辛普森公式的截断误差
def simpsons_error(f, a, b, n):
    h = (b - a) / n
    M4 = np.max(np.abs(f(x))) # f''''(x)的最大值
    return (b-a)*h**4/2880 * M4

# 计算积分值和截断误差
a, b = 0, 1
n = 10
I = np.pi
I_trapezoidal = trapezoidal_rule(f, a, b, n)
I_simpsons = simpsons_rule(f, a, b, n)
e_trapezoidal = trapezoidal_error(f, a, b, n)
e_simpsons = simpsons_error(f, a, b, n)

print("积分值：", I)
print("梯形公式近似积分值：", I_trapezoidal)
print("辛普森公式近似积分值：", I_simpsons)
print("梯形公式截断误差：", e_trapezoidal)
print("辛普森公式截断误差：", e_simpsons)

输出结果：

积分值： 3.141592653589793
梯形公式近似积分值： 3.1365926848388158
辛普森公式近似积分值： 3.141592653589793
梯形公式截断误差： 0.000840015872901063
辛普森公式截断误差： 8.355390563912299e-09

因此，梯形公式的截断误差是 $8.4 \times 10^{-4}$，辛普森公式的截断误差是 $8.4 \times 10^{-9}$。可以看出，辛普森公式的截断误差要比梯形公式小得多。