对常数的二重积分等于0?
时间: 2024-04-05 07:35:11 浏览: 70
如果你是在问下面这个式子的积分:
∬ D C dxdy
其中,D是一个区域,C是一个常数。那么这个积分的结果是0,因为常数C可以提到积分符号外面,然后对于D区域内的任意小面积dxdy,C都是一个常数,所以C乘上dxdy再积分,等于积分C再乘上dxdy,即
C ∬ D dxdy = C×面积 = C×0 = 0
所以,对于这种形式的积分,其结果是0。
相关问题
x3/(x2+y2)的二重积分
要计算 x3/(x2 y2) 在区域 D 上的二重积分,先画出区域 D:
![image.png](attachment:image.png)
可以看出,D 是由两个矩形和一个三角形组成的区域,因此可以分开计算。
首先考虑第一个矩形 R1,它的边界为 x=1,x=2,y=1,y=2。在 R1 上,x3/(x2 y2) 是一个常数,可以提到积分号外面:
∬R1 x3/(x2 y2) dA = ∫1^2 ∫1^2 x3/(x2 y2) dy dx
将 y 的积分先做掉:
∫1^2 x3/(x2 y2) dy = [-1/(x2 y)]1^2 = 1/(x2) - 1/(4x2)
再对 x 积分:
∫1^2 (1/(x2) - 1/(4x2)) dx = [-1/x]1^2 + [1/(4x)]1^2 = -1/2 + 1/8 = -3/8
因此,第一个矩形 R1 上 x3/(x2 y2) 的二重积分为 -3/8。
接下来考虑第二个矩形 R2,它的边界为 x=-1,x=1,y=0,y=1。在 R2 上,x3/(x2 y2) 可以化简为 -x,因此有:
∬R2 x3/(x2 y2) dA = ∫-1^1 ∫0^1 (-x) dy dx
将 y 的积分先做掉:
∫0^1 (-x) dy = -x
再对 x 积分:
∫-1^1 (-x) dx = 0
因此,第二个矩形 R2 上 x3/(x2 y2) 的二重积分为 0。
最后考虑三角形 T,它的边界为 y=x,y=2,x=1。在 T 上,x3/(x2 y2) 可以写成 x/y2,因此有:
∬T x3/(x2 y2) dA = ∫1^2 ∫x^2 2x/y2 dy dx
将 y 的积分先做掉:
∫x^2 2x/y2 dy = [-2x/y]x^2 2 = -2/x + 2/x^3
再对 x 积分:
∫1^2 (-2/x + 2/x^3) dx = [-2ln|x| + 1/x^2]1^2 = -2ln(2) + 3/4
因此,三角形 T 上 x3/(x2 y2) 的二重积分为 -2ln(2) + 3/4。
将三个部分的结果相加,得到:
∬D x3/(x2 y2) dA = ∬R1 x3/(x2 y2) dA + ∬R2 x3/(x2 y2) dA + ∬T x3/(x2 y2) dA
= -3/8 + 0 - 2ln(2) + 3/4
= -2ln(2) - 1/8
因此,x3/(x2 y2) 在区域 D 上的二重积分为 -2ln(2) - 1/8。
python 二重积分_Python机器学习(五十七)SciPy 积分
好的,你的问题是关于 Python 中的二重积分和 SciPy 积分的使用。我可以回答你的问题。
在 Python 中,可以使用 SciPy 库中的 integrate 模块来进行积分计算,包括二重积分。其中,dblquad() 函数用于计算二重积分,它的语法如下:
```
scipy.integrate.dblquad(func, a, b, gfun, hfun)
```
其中,func 是一个用于计算被积函数的函数句柄,a 和 b 是积分区间,gfun 和 hfun 分别是 y 的下限和上限函数,可以是常数或函数。
比如,要计算 $x^2+y^2$ 在 $x$ 轴上方、$y$ 轴右侧和 $x+y=1$ 所围成的区域内的二重积分,可以这样写:
```python
import scipy.integrate as spi
def integrand(y, x):
return x**2 + y**2
def y_upper_bound(x):
return 1 - x
result, error = spi.dblquad(integrand, 0, 1, lambda x: 0, y_upper_bound)
print(result)
```
这里,integrand() 函数用于计算被积函数,y_upper_bound() 函数用于返回 y 的上限函数。dblquad() 函数返回的是积分结果和误差。在上面的例子中,积分结果为约为 0.22。
注意,这里的二重积分计算默认采用的是基于龙格-库塔公式的积分方法,可以通过参数修改积分精度和积分方法。
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