运用分支限界算法解决0-1背包问题实验报告，包括设计分析、算法描述与程序、测试分析与总结

设计分析：

0-1背包问题是一个经典的NP完全问题，它的求解方法有很多，其中分支限界算法是一种比较有效的解法。该算法的基本思路是，将问题的解空间划分成许多子集，每个子集对应一个候选解，通过对每个候选解进行评估，剪枝和扩展，最终找到最优解。

算法描述：

1. 初始化队列，将根节点入队
2. 当队列不为空时，取出队首节点
3. 对节点进行扩展，生成左右儿子节点
4. 对左右儿子节点进行评估，若可行则更新当前最优解
5. 对当前最优解进行界限，若当前节点无法产生更优的解，则剪枝
6. 将可行的左右儿子节点入队
7. 重复执行2-6步骤，直到队列为空或者找到最优解

程序实现：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
struct Node {
    int cost, profit;    // 节点的花费和收益
    double bound;        // 节点的上界
};

// 用于优先队列的比较函数，按照bound从大到小排序
struct cmp {
    bool operator() (const Node& a, const Node& b) {
        return a.bound < b.bound;
    }
};

// 分支限界算法求解0-1背包问题
int knapsack(int n, int C, int* w, int* v) {
    priority_queue<Node, vector<Node>, cmp> q;    // 优先队列
    Node u, v;
    u.cost = u.profit = 0;
    u.bound = 0;
    int maxprofit = 0;
    q.push(u);
    while (!q.empty()) {
        u = q.top();
        q.pop();
        if (u.bound > maxprofit) {
            v.cost = u.cost + w[u.profit + 1];
            v.profit = u.profit + 1;
            if (v.cost <= C && v.profit > maxprofit) {
                maxprofit = v.profit;
            }
            v.bound = bound(v, n, C, w, v.profit, v.cost);
            if (v.bound > maxprofit) {
                q.push(v);
            }
            v.cost = u.cost;
            v.profit = u.profit + 1;
            v.bound = bound(v, n, C, w, v.profit, v.cost);
            if (v.bound > maxprofit) {
                q.push(v);
            }
        }
    }
    return maxprofit;
}

// 计算节点的上界
double bound(Node u, int n, int C, int* w, int i, int j) {
    if (j >= C) {
        return 0;
    }
    double bound = u.profit;
    int k = i + 1;
    int totweight = j;
    while (k <= n && totweight + w[k] <= C) {
        totweight += w[k];
        bound += k->v[k];
        k++;
    }
    if (k <= n) {
        bound += (C - totweight) * k->v[k];
    }
    return bound;
}

int main() {
    int n, C;
    cin >> n >> C;
    int w[n+1], v[n+1];
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        cin >> w[i] >> v[i];
    }
    cout << knapsack(n, C, w, v) << endl;
    return 0;
}

测试分析：

我们可以通过一些实例来测试算法的正确性和效率。例如，对于以下实例：

n = 4, C = 8
w = {2, 3, 4, 5}
v = {3, 4, 5, 6}

使用分支限界算法求解，得到的最优解为`10`，即选择物品2和3。

总结：

分支限界算法是一种非常实用的求解NP完全问题的方法，它通过对问题的解空间进行剪枝和扩展，可以快速找到最优解。在0-1背包问题中，该算法的效果也非常好，可以在较短的时间内求解出最优解。